Independență algebrică

În algebra abstractă o submulțime $S$ a unui corp $L$ independentă algebric peste un subcorp dacă elementele din $S$ nu satisfac nicio ecuație polinomială netrivială cu coeficienți în $K$ .

În particular, un element $\{\alpha \}$ al unei mulțimi este independent algebric peste $K$ dacă și numai dacă $\alpha$ este transcendent peste $K$ . În general, toate elementele unei mulțimi independente algebric $S$ peste $K$ sunt necesar transcendente peste $K$ și peste toate extensiile peste $K$ generate de restul elementelor lui $S$ .

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Cele două numere reale ${\sqrt {\pi }}$ și $2\pi +1$ sunt fiecare numere transcendente: ele nu sunt rădăcinile vreunui polinom netrivial cu coeficienți raționali. Prin urmare, fiecare din cele două singletoane $\{{\sqrt {\pi }}\}$ și $\{2\pi +1\}$ sunt independente algebric peste corpul numerelor raționale $\mathbb {Q}$ .

În orice caz, mulțimea $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ nu este independentă algebric peste numerele raționale deoarece polinomul netrivial

P(x,y)=2x^{2}-y+1

este zero pentru $x={\sqrt {\pi }}$ și $y=2\pi +1$ .

Independența algebrică a unor constante[modificare | modificare sursă]

Deși se știe că ambele $\pi$ și e sunt transcendente, nu se știe dacă mulțimea formată din ele este independentă algebric peste $\mathbb {Q}$ .^[1] De fapt nu se știe nici măcar dacă $\pi +e$ este irațional.^[2] Nesterenko a demonstrat în 1996 că:

numerele $\pi$ , $e^{\pi }$ și Γ(1/4) sunt independente algebric peste $\mathbb {Q}$ .^[3]
numerele $\pi$ , $e^{\pi {\sqrt {3}}}$ și Γ(1/3) sunt independente algebric peste $\mathbb {Q}$ .
pentru toți întregii pozitivi $n$ , numerele $\pi$ și $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ sunt independente algebric peste $\mathbb {Q}$ .^[4]

Teorema Lindemann–Weierstrass[modificare | modificare sursă]

Teorema Lindemann–Weierstrass^⁠(d) poate fi folosită adesea pentru a demonstra că unele mulțimi sunt independente algebric peste $\mathbb {Q} .$ Se afirmă că ori de câte ori $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ sunt numere algebrice acestea sunt independente liniar^⁠(d) peste $\mathbb {Q}$ , ca urmare $e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ sunt și ele independente algebric peste $\mathbb {Q}$ .

Matroizi algebrici[modificare | modificare sursă]

Fiind dată o extensie de corp $L/K$ care nu este algebrică, Lema lui Zorn poate fi utilizată pentru a arăta că există întotdeauna o submulțime maximă independentă algebric a $L$ peste $K$ . Mai mult, toate submulțimile maxime independente algebric au aceeași cardinalitate, cunoscută sub numele de grad de transcendență al extensiei.

Pentru orice mulțime $S$ de elemente ale $L$ , submulțimile independente algebric din $S$ satisfac axiomele care definesc mulțimile independente ale unui matroid^⁠(d). În acest matroid, rangul unei mulțimi este gradul său de transcendență, iar subspațiul generat de mulțimea $T$ de elemente este intersecția lui $L$ cu corpul $K[T]$ . Un matroid care poate fi generat în acest mod se numește matroid algebric. Nu există o caracterizare bună a matroizilor algebrici, dar se știe că unii matroizi nu sunt algebrici; cel mai mic este matroidul Vámos.^[5]

Mulți matroizi finiți pot fi reprezentați^⁠(d) printr-o matrice peste corpul $K$ , în care elementele matroidului corespund coloanelor matricii, iar mulțimea elementelor este independentă dacă mulțimea corespunzătoare a coloanelor este independentă liniar. Orice matroid cu o reprezentare liniară de acest tip poate fi reprezentat și ca un matroid algebric, prin alegerea unei nedeterminate pe fiecare rând al matricii, și folosirea coeficienților matricii în fiecare coloană pentru a atribui fiecărui element al matroidului o combinație liniară a acestor transcendente. Inversa este falsă: nu orice matroid algebric are o reprezentare liniară.^[6]

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Patrick Morandi (1996). Field and Galois Theory. Springer. p. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Accesat în 11 aprilie 2008.
^ en Green, Ben (2008), „III.41 Irrational and Transcendental Numbers”, În Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, p. 222
^ en Manin, Iu. I.; Pancișkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (ed. Second). p. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.
^ en Nesterenko, Iuri V (1996). „Modular Functions and Transcendence Problems”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.
^ en Ingleton, A. W.; Main, R. A. (1975), „Non-algebraic matroids exist”, Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (2): 144–146, doi:10.1112/blms/7.2.144, MR 0369110
^ en Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Chen, Johnny, Algebraically Independent la MathWorld.

[1] Patrick Morandi (1996). Field and Galois Theory. Springer. p. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Accesat în 11 aprilie 2008.

[2] Green, Ben (2008), „III.41 Irrational and Transcendental Numbers”, În Gowers, Timothy, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, p. 222

[MP61-3] Manin, Iu. I.; Pancișkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (ed. Second). p. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.

[4] Nesterenko, Iuri V (1996). „Modular Functions and Transcendence Problems”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914.

[5] Ingleton, A. W.; Main, R. A. (1975), „Non-algebraic matroids exist”, Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (2): 144–146, doi:10.1112/blms/7.2.144, MR 0369110

[6] Joshi, K. D. (1997), Applied Discrete Structures, New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]