Lema lui Zorn

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Lema lui Zorn, numită şi lema Kuratowski-Zorn, este o lemă în cadrul teoriei mulţimilor.

[modifică] Enunţ

Dacă M este o mulţime nevidă pe care există o relaţie de ordine (parţială) cu proprietatea că pentru orice submulţime T total ordonată de ordinea de pe M există în M un element care o majorează, atunci M admite un element maximal.

Lema lui Zorn rezultă din axioma alegerii şi este echivalentă cu aceasta (dacă în teoria mulţimilor nu se consideră axioma alegerii în schimb se consideră ca axiomă enunţul lemei lui Zorn, atunci se poate demonstra ca teoremă enunţul axiomei alegerii). O altă proprietate importantă echivalentă cu axioma alegerii şi cu lema lui Zorn este teorema lui Zermelo de bună ordonare: pe orice mulţime se poate defini o relaţie de bună ordonare.

[modifică] Consecinţe

Următoarele propoziţii se demonstrează uşor aplicând lema lui Zorn:

• orice două cardinale sunt comparabile
• orice spaţiu vectorial admite o bază algebrică

[modifică] Exemple

Ideea de demonstraţie a faptului că orice spaţiu vectorial X are cel puţin o bază algebrică este următoarea: Se consideră mulţimea a mulţimilor A de vectori liniar independenţi din X. Pe această mulţime se consideră ordinea dată de relaţia de incluziune între mulţimi. Pentru orice submulţime de mulţimi incluse una în alta (, sau ), reuniunea lor este o mulţime de vectori liniar independenţi şi deci un majorant pentru . Ca urmare, se poate aplica lema lui Zorn şi rezultă că există o mulţime maximală în . Această mulţime maximală este o bază a lui X.

În alte cazuri, construcţia mulţimii parţial ordonate este mai complicată. Pentru a demonstra că orice două cardinale sunt comparabile, se ia mulţimea bijecţiilor definite pe o submulţime a uneia dintre mulţimi cu valori într-o submulţime a celeilalte. O funcţie este considerată „mai mică” decât alta dacă este o restricţie a ei (domeniul primeia este inclus în domeniul celeilalte şi cele două funcţii coincid pe domeniul mai mic).