Funcţia zeta Riemann

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Funcţia zeta Riemann ζ(s) în planul complex. Culoarea unui punct s codifică valoarea lui ζ(s): culorile tari codifică valori apropiate de zero iar tenta codifică argumentul. Punctul alb din s = 1 este polul funcţiei zeta; punctele negre de pe axa reală negativă şi de pe dreapta critică Re(s) = 1/2 sunt zerourile.

În matematică, funcţia zeta Riemann, numită după matematicianul german Bernhard Riemann, este o funcţie cu semnificaţie importantă în teoria numerelor din cauza relaţiei pe care o are cu distribuţia numerelor prime. Are aplicaţii şi în alte domenii cum ar fi fizica, teoria probabilităţilor, şi în statistică aplicată.

[modifică] Definiţie

funcţia zeta Riemann pentru s real şi s > 1

Funcţia zeta Riemann ζ(s) este o funcţie de variabilă complexă s iniţial definită prin următoarea serie infinită:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

pentru anumite valori ale lui s şi apoi continuată analitic la toate numerele complexe s ≠ 1. Această serie Dirichlet converge pentru toate valorile reale ale lui s mai mari ca 1. De la lucrarea Despre numerele prime mai mici decât un număr dat din 1859 a lui Bernhard Riemann, a devenit standard să se extindă definiţia funcţiei ζ(s) la valori complexe ale variabilei s, în două etape. Întâi, Riemann a arătat că seria este convergentă pentru orice s complex cu partea reală Re(s) mai mare ca unu şi defineşţe o funcţie analitică de variabilă complexă s pe regiunea {s ∈ C : Re(s) > 1} a planului complex C. Apoi, el a demonstrat cum se extinde funcţia ζ(s) la toate valorile complexe ale lui s diferite de 1. Ca rezultat, funcţia zeta devine funcţie meromorfică de variabilă complexă s, care este olomorfă în regiunea {s∈C:s≠ 1} a planului complex şi are un pol simplu în s=1. Procesul de continuare analitică are ca rezultat o funcţie unică, şi, pe lângă a extinde ζ(s) dincolo de domeniul de convergenţă al seriei originale, Riemann a stabilit o ecuaţie funcţională pentru funcţia zeta, care pune în legătură valorile din punctele s cu cele din punctele 1 − s. Celebra ipoteză Riemann, formulată în aceeaşi lucrare a lui Riemann, se ocupă de zerourile acestei funcţii extinse analitic. Pentru a accentua faptul că s este văzut ca număr complex, el este scris de obicei de forma s = σ + it, unde σ = Re(s) este partea reală a lui s şi t = Im(s) este partea imaginară a lui s.