Funcție olomorfă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În analiza complexă, o funcție complexă este olomorfă într-un punct z_0 al planului complex dacă este complex derivabilă într-o vecinătate a punctului. O asemenea funcție poate fi olomorfă și pe o întreagă mulțime deschisă G din planul complex dacă este olomorfă în fiecare punct din mulțime.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Fie G o submulțime deschisă, nevidă, conexă a lui \mathbb C.

Funcția f este complex derivabilă într-un punct z_0 \in G dacă există limita:

 f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac {f(z) - f(z_0) } {z-z_0} .

În cazul în care funcția f este complex derivabilă în fiecare punct din vecinătatea lui z_0, aceasta se numește funcție olomorfă în punctul z_0.

Noțiunea de olomorfie extinde deci noțiunile de derivabilitate și continuitate din analiza reală în cea complexă.

Termenul[modificare | modificare sursă]

Termenul olomorf este un neologism derivat de la rădăcinile grecești ὅλος (holos), cu înțelesul de "întreg", și μορφή (morphē), cu înțelesul de "formă" sau "înfățișare".[1]

Același înțeles cu funcție olomorfă îl au și sintagmele funcție analitică sau funcție regulată.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Funcțiile olomorfe alcătuiesc obiectul de studiu principal al analizei complexe, având o serie proprietăți utile.

Ecuațiile Cauchy-Riemann[modificare | modificare sursă]

O proprietate a oricărei funcții olomorfe este îndeplinirea ecuațiilor diferențiale Cauchy-Riemann, care sunt necesare și suficiente pentru ca funcția să fie olomorfă. Pentru fiecare funcție olomorfă f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y), având părțile reale și imaginare deci definite la rândul lor ca funcțiile reale u și v, rezultă:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} și \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

Funcții armonice[modificare | modificare sursă]

O altă proprietate importantă este, că pentru aceeași funcție f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y), atât u cât și v sunt funcții armonice, adică derivatele de ordinul doi după fiecare variabilă dependentă însumate dau zero. Pentru prescurtare se folosește adesea operatorul Laplace (\Delta):

\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 și \Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0

Exemple[modificare | modificare sursă]

Luând ca exemplu funcția complexă f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)= (x^4 + y^4) -6x^2y^2 + i(4x^3y-4xy^3) se poate verifica olomorfia pe întreaga mulțime a numerelor complexe verificând proprietățile de mai sus.

Ecuațiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 4x^3-12xy^2 și \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = - 4 y^3 + 12 x^2 y

Atât u cât și v sunt funcții armonice:

\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 12 x^2 - 12 y^2 + (-12 x^2 + 12 y^2)=0 și \Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 24xy+(-24xy) = 0

Note[modificare | modificare sursă]

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Stoilow, S. - Teoria funcțiilor de o variabilă complexă, București, 1954
  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  1. ^ Markushevich, A.I.; Silverman, Richard A. (ed.) (2005) [1977]. Theory of functions of a Complex Variable (ed. 2nd ed.). New York: American Mathematical Society. p. 112. ISBN 0-8218-3780-X. http://books.google.com/books?id=H8xfPRhTOcEC&dq 

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]