Funcție olomorfă

În analiza complexă, o funcție complexă este olomorfă într-un punct $z_0$ al planului complex dacă este complex derivabilă într-o vecinătate a punctului. O asemenea funcție poate fi olomorfă și pe o întreagă mulțime deschisă $G$ din planul complex dacă este olomorfă în fiecare punct din mulțime.

Definiție

Fie $G$ o submulțime deschisă, nevidă, conexă a lui $\mathbb C$.

Funcția $f$ este complex derivabilă într-un punct $z_0 \in G$ dacă există limita:

$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac {f(z) - f(z_0) } {z-z_0}$.

În cazul în care funcția $f$ este complex derivabilă în fiecare punct din vecinătatea lui $z_0$, aceasta se numește funcție olomorfă în punctul $z_0$.

Noțiunea de olomorfie extinde deci noțiunile de derivabilitate și continuitate din analiza reală în cea complexă.

Termenul

Termenul olomorf este un neologism derivat de la rădăcinile grecești ὅλος (holos), cu înțelesul de "întreg", și μορφή (morphē), cu înțelesul de "formă" sau "înfățișare".

Același înțeles cu funcție olomorfă îl au și sintagmele funcție analitică sau funcție regulată.

Proprietăți

Funcțiile olomorfe alcătuiesc obiectul de studiu principal al analizei complexe, având o serie proprietăți utile.

Ecuațiile Cauchy-Riemann

O proprietate a oricărei funcții olomorfe este îndeplinirea ecuațiilor diferențiale Cauchy-Riemann, care sunt necesare și suficiente pentru ca funcția să fie olomorfă. Pentru fiecare funcție olomorfă $f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)$, având părțile reale și imaginare deci definite la rândul lor ca funcțiile reale $u$ și $v$, rezultă:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

și

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Funcții armonice

O altă proprietate importantă este, că pentru aceeași funcție $f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)$, atât $u$ cât și $v$ sunt funcții armonice, adică derivatele de ordinul doi după fiecare variabilă dependentă însumate dau zero. Pentru prescurtare se folosește adesea operatorul Laplace ($\Delta$):

$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

și

$\Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$

Exemple

Luând ca exemplu funcția complexă $f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)= (x^4 + y^4) -6x^2y^2 + i(4x^3y-4xy^3)$ se poate verifica olomorfia pe întreaga mulțime a numerelor complexe verificând proprietățile de mai sus.

Ecuațiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 4x^3-12xy^2$

și

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = - 4 y^3 + 12 x^2 y$

Atât $u$ cât și $v$ sunt funcții armonice:

$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 12 x^2 - 12 y^2 + (-12 x^2 + 12 y^2)=0$

și

$\Delta v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 24xy+(-24xy) = 0$

Bibliografie

• Stoilow, S. - Teoria funcțiilor de o variabilă complexă, București, 1954
• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

Vezi și

• Număr complex
• Analiză matematică
• Derivată