Teorema sinusurilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În geometrie, teorema sinusurilor este o teoremă care stabilește relația dintre valorile laturilor unui triunghi și sinusurile unghiurilor dintre ele.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Dacă laturile unui triunghi au lungimile a, b și c, iar unghiurile care se opun acestora sunt A, B și C, atunci:

unde R este raza cercului circumscris triunghiului, iar S aria triunghiului.

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Teoremasin13.JPG

Construim cercul circumscris triunghiului , la fel ca în figura alăturată.

Conform teoremei unghiului la centru,

Pe de altă parte, triunghiul este triunghi isoscel cu vârful în O, deci înălțimea OA' este și mediană și bisectoare. Rezultă că

Deoarece triunghiul este triunghi dreptunghic cu vârful în A',

de unde rezultă că . Printr-un raționament similar, rezultă că și sinusurile unghiurilor B și C iau aceeași valoare.