Complement (matematică)


Dacă $A$ este zona colorată cu roșu în această imagine...		... atunci complementul lui $A$ este restul.

În teoria mulțimilor complementul unei mulțimi $A$ , adesea notată cu $A^{c}$ (sau $A'$ ),^[1]^[2] este mulțimea ale cărei elemente nu sunt în $A$ .^[3]

Când toate mulțimile luate în considerare sunt considerate submulțimi ale unei mulțimi date $U$ , complementul absolut al lui $A$ este mulțimea elementelor din $U$ , dar nu din $A$ .

Complementul relativ al lui $A$ față de mulțimea $B$ , numită și diferența dintre mulțimile $A$ și $B$ , notată $B \ A$ , este mulțimea elementelor din $B$ , dar nu și din $A$ .^[1]

Complementul absolut[modificare | modificare sursă]

Complementul absolut al

A

(cercul din stânga) în

U

:

A^{c}=U\setminus A

.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Dacă $A$ este o mulțime, atunci complementul absolut al lui $A$ (sau, simplu, complementul lui A) este mulțimea elementelor dintr-o mulțime mai mare, elemente care nu se află în $A$ . Cu alte cuvinte, fie $U$ o mulțime care conține toate elementele în discuție; dacă nu este necesar ca $U$ să fie menționată, fie pentru că a fost specificată anterior, fie pentru că este evidentă și unică, atunci complementul absolut al lui $A$ este complementul relativ al lui $A$ în $U$ (mulțimea în care se consideră complementul este menționată implicit într-un complement absolut și explicit într-un complement relativ):

A^{c}=U\setminus A

.

Sau formal:

A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}.

Complementul absolut al $A$ este de obicei notat cu $A^{c}$ .^[1] Alte notații sunt ${\overline {A}}$ , $A'$ ,^[3] $\complement _{U}A$ și $\complement A$ .^[4]

Exemple[modificare | modificare sursă]

Să presupunem că universul este mulțimea numerelor întregi. Dacă $A$ este mulțimea numerelor impare, atunci complementul lui $A$ este mulțimea numerelor pare. Dacă $B$ este mulțimea multiplilor de 3, atunci complementul lui $B$ este mulțimea numerelor congruente cu 1 sau 2 modulo 3 (sau, în termeni mai simpli, numerele întregi care nu sunt multipli de 3).

Să presupunem că universul este pachetul standard de 52 de cărți de joc^⁠(d). Dacă mulțimea $A$ cuprinde suita din culoarea de pică, atunci complementul lui $A$ este reuniunea suitelor de treflă, caro și cupă. Dacă mulțimea $B$ este reuniunea suitelor de treflă și caro, atunci complementul lui $B$ este reuniunea suitelor de cupă și pică.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Fie $A$ și $B$ două mulțimi din universul $U$ . Următoarele identități prezintă proprietăți importante ale complementelor absolute:

Relațiile de Morgan: (formulate de Augustus De Morgan)^[5]

$\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.$
$\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.$

Relațiile complementelor:^[5]

$A\cup A^{c}=U.$
$A\cap A^{c}=\varnothing .$
$\varnothing ^{c}=U.$
$U^{c}=\varnothing .$
${\text{dacă }}A\subseteq B{\text{, atunci }}B^{c}\subseteq A^{c}.$
(acest lucru rezultă din echivalența unui condițional cu contrapoziția sa)

Relația de involuție (complement dublu):

$\left(A^{c}\right)^{c}=A.$

Relațiile dintre complementul relativ și cel absolut:

$A\setminus B=A\cap B^{c}.$
$(A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B.$

Relația cu diferența mulțimilor:

$A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.$

Primele două relații de mai sus ale complementului arată că dacă $A$ nu este o mulțime vidă a unei submulțimi a lui $U$ , atunci ${A, A c}$ este o partiție a lui $U$ .

Complementul relativ[modificare | modificare sursă]

Complementul relativ al

A

(cercul din stânga) în

B

(cercul dun dreapta):

B\cap A^{c}=B\setminus A

Definiție[modificare | modificare sursă]

Dacă $A$ și $B$ sunt mulțimi, atunci complementul relativ al lui $A$ în $B$ ,^[5] numit și diferența mulțimilor $B$ și $A$ ,^[6] este mulțimea elementelor din $B$ dar nu din $A$ .

Începând din 1992, complementul relativ al $A$ în $B$ , se notează $B ∖ A$ .^[7] Uneori este notat $B - A$ ,^[1] dar această notație este perimată,^[7] fiind ambiguă; în anumite contexte poate fi interpretată ca mulțimea tuturor elementelor $b - a$ , unde $b$ este din $B$ iar $a$ din $A$ .

Formal:

B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.

Exemple[modificare | modificare sursă]

$\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$ .
$\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$ .
Dacă $\mathbb {R}$ este mulțmea numerelor reale și $\mathbb {Q}$ este mulțimea numerelor raționale, atunci $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ este mulțimea numerelor iraționale.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Fie $A$ , $B$ și $C$ trei mulțimi. Următoarele identități prezintă propertățile importante referitoare la complemente:

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ .
$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$ .
$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$ ,
cu importantul caz particular $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ demonstrând că intersecția poate fi exprimată folosind doar noțiunea de complement relativ.
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$ .
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$ .
$A\setminus A=\emptyset$ .
$\emptyset \setminus A=\emptyset$ .
$A\setminus \emptyset =A$ .
$A\setminus U=\emptyset$ .

Relația complementară[modificare | modificare sursă]

O relație binară R este definită ca o submulțime a unui produs al mulțimilor X × Y. Relația complementară ${\bar {R}}$ este complementul mulțimii R în X × Y Complementul relației R poate fi scris

{\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.

Aici, R este adesea privită ca o matrice logică având pe rânduri elementele lui X și pe coloane elementele lui Y. „Adevăratul” lui aRb corespunde cu 1 în rândul a, coloana b. Obținrea relației complementare cu R corespunde atunci comutării tuturor „1” în „0” și a tuturor „0” în „1” pentru matricea logică a complementului.

Împreună cu compunerea relațiilor și a relațiilor inverse, relațiile complementare și algebra mulțimilor sunt operațiile elementare ale logicii algebrice^⁠(d).

Notații LaTeX[modificare | modificare sursă]

În limbajul LaTeX, pentru redarea unui simbol diferență de mulțime, care este similar cu un simbol backslash ( \ ) se folosește de obicei comanda \setminus.^[8] La afișare, comanda \setminus arată identic cu \backslash, cu excepția că spațiile dinainte și de după sunt puțin mai mari, asemănătoare cu secvența LaTeX \mathbin{\backslash}. Varianta \smallsetminus este disponibilă în pachetul amssymb.

În limbaje de programare[modificare | modificare sursă]

Unele limbaje de programare au incorporate operații cu mulțimi în structurile lor de date. O astfel de structură de date se comportă ca o mulțime finită, adică este alcătuită dintr-un număr finit de date care nu sunt ordonate în mod specific și pot fi astfel considerate ca elementele unei mulțimi. În unele cazuri elementele nu sunt necesare distincte. Aceste limbaje de programare au operații sau funcții pentru calcularea complementului și a diferenței mulțimilor.

Acești operatori pot fi în general aplicați și structurilor de date care nu sunt mulțimi matematice adevărate, cum ar fi liste^⁠(d) ordonate sau tablouri^⁠(d). Rezultă că unele limbaje de programare pot avea o funcție numită set_difference (română diferență de mulțimi), chiar dacă nu au nicio structură de date pentru mulțimi.

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c ^d en „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault. 1 martie 2020. Accesat în 4 septembrie 2020.
^ en „Complement and Set Difference”. web.mnstate.edu. Arhivat din original la 23 ianuarie 2021. Accesat în 4 septembrie 2020.
^ ^a ^b en „Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)”. www.mathsisfun.com. Accesat în 4 septembrie 2020.
^ Bourbaki 1970, p. E II.6. .
^ ^a ^b ^c Halmos 1960, p. 17. .
^ Devlin 1979, p. 6. .
^ ^a ^b en ISO 80000-2:2019 Quantities and units – Part 2: Mathematics, care a înlocuit standardul ISO 80000-2:2009, care a înlocuit, la rândul său, standardul ISO 31-11 din 1992, iso.org, accesat 2021-01-24
^ en The Comprehensive LaTeX Symbol List, edu.au, accesat 2021-01-24

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

en Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (în franceză). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
en Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
en Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
ro Moisil, Grigore (1968). Elemente de logică matematică și de teoria mulțimilor. Editura Științifică și Enciclopedică.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal Matematică

en Complement, (română Complement) la MathWorld
en Complement Set, (română Mulțime complementară) la MathWorld

[:0-1] „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault. 1 martie 2020. Accesat în 4 septembrie 2020.

[2] „Complement and Set Difference”. web.mnstate.edu. Arhivat din original la 23 ianuarie 2021. Accesat în 4 septembrie 2020.

[:1-3] „Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)”. www.mathsisfun.com. Accesat în 4 septembrie 2020.

[Bou-4] Bourbaki 1970, p. E II.6. .

[Halmos-1960-5] Halmos 1960, p. 17. .

[6] Devlin 1979, p. 6. .

[ISO-7] ISO 80000-2:2019 Quantities and units – Part 2: Mathematics, care a înlocuit standardul ISO 80000-2:2009, care a înlocuit, la rândul său, standardul ISO 31-11 din 1992, iso.org, accesat 2021-01-24

[8] The Comprehensive LaTeX Symbol List, edu.au, accesat 2021-01-24

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]