Restricție (matematică)

În matematică o restricție a unei funcții $f$ este o funcție nouă, notată $f\vert _{A}$ sau $f{\upharpoonright _{A}}$ , obținută prin alegerea unui domeniu de definiție mai mic, A, din cel al funcției $f$ .

Definiția formală[modificare | modificare sursă]

Fie $f:E\to F$ o funcție pe mulțimea $E$ cu valori în mulțimea $F$ . Dacă mulțimea $A$ este o submulțime a mulțimii $E$ , atunci restricția lui $f$ la $A$ este funcția^[1]

{f|}_{A}\colon A\to F

dată de f|_A(x) = f(x) pentru x din A. Informal, restricția lui $f$ la $A$ este aceeași funcție $f$ , dar este definită numai pe $A\cap \operatorname {dom} f$ .

Dacă funcția $f$ este înțeleasă ca o relație^⁠(d) $(x,f(x))$ pe produsul cartezian $E\times F$ , atunci restricția lui $f$ la $A$ poate fi reprezentată de graficul său $G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}=G(f)\cap (A\times F)$ , unde perechile $(x,f(x))$ sunt perechi ordonate în graficul $G$ .

Exemple[modificare | modificare sursă]

Restricția unei funcții neinjective $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ la domeniul $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ este injecția $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ .
Funcția factorial este restricția funcției gamma la întregii pozitivi, cu argumentul micșorat cu 1: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$

Proprietăți ale restricțiilor[modificare | modificare sursă]

Restricția unei funcții $f:X\rightarrow Y$ la întregul său domeniu $X$ este funcția inițială, adică $f|_{X}=f$ .
Restricționarea de două ori este aceeași cu restricționarea o singură dată, adică dacă $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ , atunci $(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ .
Restricționarea funcției identitate pe mulțimea X la o submulțime A din X este tocmai funcția de incluziune din A în X.^[2]
Restricția unei funcții continue este continuă.^[3]^[4]

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Funcții inverse[modificare | modificare sursă]

Articol principal: Funcție inversă.

Pentru ca o funcție să aibă inversă, aceasta trebuie să fie injectivă. Dacă o funcție $f$ nu este injectivă, poate fi posibil să se definească o inversă parțială a lui $f$ prin restricționarea domeniului. De exemplu, funcția

f(x)=x^{2}

definită pe tot $\mathbb {R}$ nu este una injectivă deoarece x² = (−x)² pentru orice x din $\mathbb {R}$ . Totuși, funcția devine injectivă dacă se restricționează la domeniul $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$ , (v. imaginea de sus) în care caz

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(Dacă se restricționează la domeniul $(-\infty ,0]$ , atunci inversa este minus rădăcinia pătrată a lui $y$ .) Alternativ, nu este nevoie de restricționarea domeniului dacă se permite ca inversa să fie o funcție multiformă^⁠(d).

Fascicule[modificare | modificare sursă]

Fasciculele^⁠(d) oferă o modalitate de generalizare a restricțiilor obiectelor în afară de funcții.

În teoria fasciculelor se atribuie un obiect $F(U)$ dintr-o categorie fiecărei mulțimi deschise $U$ dintr-un spațiu topologic și se cere ca obiectele să îndeplinească anumite condiții. Cea mai importantă condiție este existența restricțiilor de morfisme între fiecare pereche de obiecte asociate mulțimilor deschise imbricate; adică dacă $V\subseteq U$ , atunci există un morfism res_V,U : F(U) → F(V) care satisface următoarele proprietăți, care sunt concepute pentru a imita restricția unei funcții:

Pentru orice mulțime deschisă U din X, restricția de morfism res_U,U : F(U) → F(U) este morfismul identic pe F(U).
Dacă există trei mulțimi deschise $W \subseteq V \subseteq U$ , atunci compunerea^⁠(d) $res W, V \circ res V, U = res W, U$ .
(Localizare) Dacă (U_i) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă s,t ∈ F(U) sunt astfel încât $s | U i = t | U i$ pentru orice mulțime U_i a acoperirii, atunci s = t; și
(Lipire) dacă (U_i) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă pentru orice i o secțiune $s i \in F (U i)$ este dată astfel încât pentru fiecare pereche U_i,U_j din mulțimile de acoperire restricțiile s_i și s_j pot forma suprapunerea: $s i | U i \cap U j = s j | U i \cap U j$ , atunci există o secțiune $s \in F (U)$ astfel încât $s | U i = s i$ pentru orice i.

Colecția tuturor acestor obiecte se numește fascicul. Dacă numai primele două proprietăți sunt satisfăcute, este un prefascicul.

Restricții la stânga și la dreapta[modificare | modificare sursă]

Mai general, restricția (sau restricția domeniului sau restricția la stânga) $A ◁ R$ a unei relații binare $R$ între $E$ și $F$ poate fi definită ca o relație având domeniul $A$ , codomeniul $F$ și graficul $G(A ◁ R) = {(x, y) \in G(R) | x \in A}$ . Similar, se poate defini restricția la dreapta sau restricția codomeniului $R ▷ B$ . Într-adevăr, s-ar putea defini o restricție la relații $n$ -are, precum și la submulțimi înțelese ca relații, cum ar fi cele ale $E \times F$ pentru relații binare.

Antirestricții[modificare | modificare sursă]

Antirestricția domeniului (sau scăderea domeniului) unei funcții sau relații binare $R$ (cu domeniul $E$ și codomeniul $F$ ) cu mulțimea $A$ poate fi definită ca $(E \ A) ◁ R$ ; ea înlătură toate elementele lui $A$ din domeniul $E$ . Uneori este notată $A$ ⩤ $R$ .^[5] Similar, antirestricția codomeniului (sau scăderea codomeniului) unei funcții sau relații binare $R$ cu mulțimea $B$ este definită drept $R ▷ (F \ B)$ ; ea înlătură toate elementele lui $B$ din codomeniul $F$ . Uneori este notată $R$ ⩥ $B$ .^[5]

Note[modificare | modificare sursă]

^ en Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (ed. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. 5. ISBN 0-7167-0457-9.
^ en Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN: 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN: 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
^ en Munkres, James R. (2000). Topology (ed. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
^ en Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
^ ^a ^b en Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

Portal Matematică

[Stoll-1] Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (ed. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. 5. ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN: 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN: 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).

[3] Munkres, James R. (2000). Topology (ed. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.

[DS-5] Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]