Matrice idempotentă

În algebra liniară, o matrice idempotentă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu ea însăși, rezultatul este tot ea însăși. Adică, matricea $A$ este idempotentă dacă și numai dacă $A^{2}=A$. Pentru ca acest produs $A^{2}$ să fie definit, $A$ trebuie să fie neapărat o matrice pătrată. Privite astfel, matricile idempotente sunt elemente idempotente^⁠(d) ale inelelor de matrici^⁠(d).

Exemple

Exemple de matrici 2 × 2 idempotente:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}$

Exemple de matrici 3 × 3 idempotente:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}$

Cazul 2 × 2 la numere reale

Dacă matricea ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ este idempotentă, atunci

• $a=a^{2}+bc,$
• $b=ab+bd,$ care implică $b(1-a-d)=0$ deci $b=0$ sau $d=1-a,$
• $c=ca+cd,$ care implică $c(1-a-d)=0$ deci $c=0$ sau $d=1-a,$
• $d=bc+d^{2}.$

Astfel, o condiție necesară ca o matrice $2\times 2$ să fie idempotentă este să fie fie una diagonală, fie ca urma sa să fie egală cu 1. Pentru matricele diagonale idempotente, $a$ și $d$ trebuie să fie fie 1, fie 0.

Dacă $b=c$, matricea ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ va fi idempotentă cu condiția $a^{2}+b^{2}=a,$ deci a satisface ecuația de gradul al doilea

$a^{2}-a+b^{2}=0,$ sau $\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}$

care este un cerc cu centrul (1/2, 0) și raza 1/2. Cu variabila θ,

$A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}$

este idempotentă. Însă $b=c$ nu este o condiție necesară: orice matrice ${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ cu $a^{2}+bc=a$ este idempotentă.

Proprietăți

Singularitate și regularitate

Singura matrice idempotentă care nu este inversabilă este matricea unitate; adică, dacă o matrice care nu este una unitate este idempotentă, numărul său de linii (sau coloane) independente este mai mic decât numărul său de linii (sau coloane).

Asta se poate arăta scriind $A^{2}=A$, presupunând că A nu este singulară, înmulțind-o cu $A^{-1}$ se obține $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$.

Când o matrice idempotentă este scăzută din matricea unitate, rezultatul este și el idempotent. Acest lucru este valabil deoarece

$(I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.$

Dacă matricea A este idempotentă, atunci pentru orice număr întreg pozitiv n, $A^{n}=A$. Acest lucru poate fi demonstrat folosind demonstrarea prin inducție. Pentru $n=1$, $A^{1}=A$. Presupunând că $A^{k-1}=A$, atunci $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$, deoarece A este idempotentă. Prin inducție, rezultatul este demonstrat.

Valorile proprii

O matrice idempotentă este întotdeauna diagonalizabilă^⁠(d). Valorile sale proprii sunt sau 0, sau 1: dacă $\mathbf {x}$ este un vector propriu nenul a unei matrice idempotente $A$ iar $\lambda$ este valoarea sa proprie asociată, atunci ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ceea ce implică $\lambda \in \{0,1\}.$ Asta implică faptul că determinantul unei matrice idempotente este întotdeauna 0 sau 1. După cum s-a menționat mai sus, dacă determinantul este egal cu unu, matricea este inversabilă și, prin urmare, este matricea unitate.

Urma

Urma unei matrice idempotente — suma elementelor de pe diagonala sa principală — este egală cu rangul matricei, prin urmare este întotdeauna un număr întreg. Aceasta oferă o modalitate simplă de a calcula rangul, respectiv urma, unei matrice ale cărei elemente nu sunt specificate (ceea ce este util în statistică, de exemplu, în stabilirea biasului^⁠(d) unui eșantion variant ca estimare a varianței întregii populații).

Relații între matrici idempotente

În analiza de regresie se știe că matricea $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ produce reziduurile $e$ din regresia vectorului variabilelor dependente $y$ din matricea covariatelor $X$. (v. secțiunea „Aplicații”.) Acum, fie $X_{1}$ o matrice formată dintr-un subset de coloane ale lui $X$ și fie $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$. Este ușor de demonstrat că atât $M$ cât și $M_{1}$ sunt idempotente, dar un fapt oarecum surprinzător este că $MM_{1}=M$. Acest lucru se datorează faptului că $MX_{1}=0$, sau cu alte cuvinte, reziduurile din regresia coloanelor lui $X_{1}$ din $X$ sunt 0 deoarece $X_{1}$ poate fi interpolat perfect, deoarece este un subset al lui $X$ (este simplu să se arate că $MX=0$ prin substituție directă). Aceasta duce la alte două rezultate importante: unul este că $(M_{1}-M)$ este simetric și idempotent, iar celălalt este că $(M_{1}-M)M=0$, adică $(M_{1}-M)$ este ortogonal cu $M$. Aceste rezultate joacă un rol cheie, de exemplu, în obținerea testului F.

Orice matrice asemenea cu una idempotentă este și ea idempotentă. Idempotența este conservată la o schimbarea bazei^⁠(d). Acest lucru poate fi demonstrat prin înmulțirea cu matricea transpusă $SAS^{-1}$ cu $A$ fiind idempotentă: $(SAS^{-1})^{2}=(SAS^{-1})(SAS^{-1})=SA(S^{-1}S)AS^{-1}=SA^{2}S^{-1}=SAS^{-1}$.

Aplicații

Matricele idempotente apar frecvent în analiza de regresie și econometrie. De exemplu, în metoda liniară a celor mai mici pătrate^⁠(d) problema regresiei este de a alege un vector β de estimări de coeficienți astfel încât să fie minimizată suma reziduurilor pătrate (predicții greșite) e_i: sub formă de matrice:

de minimizat $(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )$

unde $y$ este un vector care conține mărimile variabilelor dependente, iar $X$ este o matrice în care fiecare din coloanele ei este o coloană de observații ale variabilelor independente. Rezultatul estimării este

${\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y$

unde prin T este notată matricea transpusă, iar vectorul reziduurilor este:

${\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.$

Aici ambele $M$ și $X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}$ sunt matrici idempotente și simetrice, fapt care simplifică calculul sumei pătratelor reziduurilor:

${\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.$

Idempotența lui $M$ joacă un rol și în alte calcule, cum ar fi determinarea varianței estimării ${\hat {\beta }}$.