Inversarea matricilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În algebra liniară, o matrice pătrată A n × n se numește inversabilă (sau nesingulară sau nedegenerată), dacă exisă o matrice pătrată B n × n astfel încât

unde In este matricea unitate n × n, iar înmulțirea se face după regula obișnuită a înmulțirii matricilor⁠(d). În acest caz matricea B este determinată în mod unic de A, și este numită inversa lui A, notată A−1.[1][2] Inversarea unei matrice este procesul de calcul al matricei B.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Matricea de se numește inversabilă dacă și numai dacă aceasta este nesingulară și există o altă matrice de astfel încât produsul lor să fie matricea unitate ()[3], mai exact

O matrice pătrată este nesingulară respectiv singulară dacă determinantul matricei este nenul () respectiv nul ().

Calculul inversei unei matrice[modificare | modificare sursă]

Inversa unei matrice 2 × 2[modificare | modificare sursă]

Inversa unei matrice se calculează în felul următor:

Unde se mai notează cu .

Metoda Cayley-Hamilton dă următoarea formula:

unde este suma elementelor de pe diagonala principală din , numită urma unei matrice (din engleză trace)

Inversa unei matrice 3 × 3[modificare | modificare sursă]

Modul de calcul a inversei unei matrice este asemănător cu cel anterior de , întrucât:

(A nu se confunda scalarul cu matricea )

Unde elementele din cea de-a doua matrice (din nou des notată cu ) sunt calculate în felul următor:

Se observă că scalarul este determinantul matricei formate prin îndepărtarea din matricea a coloanei și a rândului ce îl conțineau pe , împreună cu semnul său (elementele de pe diagonale având semnul „+”, iar celelalte „”).

Relația Cayley-Hamilton aferentă matricilor de este următoarea:

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en „Comprehensive List of Algebra Symbols”. Math Vault. . Accesat în . 
  2. ^ en „Invertible Matrices”. www.sosmath.com. Accesat în . 
  3. ^ MIT. „Inverse Matrices” (PDF). math.mit.edu:. 

Legături externe[modificare | modificare sursă]