Inversarea matricilor

În algebra liniară, o matrice pătrată A n × n se numește inversabilă (sau nesingulară sau nedegenerată), dacă exisă o matrice pătrată B n × n astfel încât

$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}$

unde I_n este matricea unitate n × n, iar înmulțirea se face după regula obișnuită a înmulțirii matricilor^⁠(d). În acest caz matricea B este determinată în mod unic de A, și este numită inversa lui A, notată A⁻¹. Inversarea unei matrice este procesul de calcul al matricei B.

Definiție

Matricea $\mathbf {A}$ de $n\times n$ se numește inversabilă dacă și numai dacă aceasta este nesingulară și există o altă matrice $\mathbf {A} ^{-1}$ de $n\times n$ astfel încât produsul lor să fie matricea unitate ($\mathbf {I} _{n}$), mai exact

$$\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {I} _{n}$$

O matrice pătrată $\mathbf {A}$ este nesingulară respectiv singulară dacă determinantul matricei $\mathbf {A}$ este nenul ($\det \mathbf {A} \neq 0$) respectiv nul ($\det \mathbf {A} =0$).

Calculul inversei unei matrice

Inversa unei matrice 2 × 2

Inversa unei matrice $2\times 2$ se calculează în felul următor:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}$

Unde ${\textstyle {\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$se mai notează cu $A^{*}$.

Metoda Cayley-Hamilton dă următoarea formula:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right]$

unde $\operatorname {tr} \mathbf {A}$ este suma elementelor de pe diagonala principală din $\operatorname {tr} \mathbf {A}$, numită urma unei matrice (din engleză trace)

Inversa unei matrice 3 × 3

Modul de calcul a inversei unei matrice $3\times 3$ este asemănător cu cel anterior de $2\times 2$, întrucât:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}$

(A nu se confunda scalarul $A$ cu matricea $\mathbf {A}$)

Unde elementele din cea de-a doua matrice (din nou des notată cu $A^{*}$) sunt calculate în felul următor:

$${\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}$$

Se observă că scalarul $A$ este determinantul matricei formate prin îndepărtarea din matricea $\mathbf {A}$ a coloanei și a rândului ce îl conțineau pe $a$, împreună cu semnul său (elementele de pe diagonale având semnul „+”, iar celelalte „−”).

Relația Cayley-Hamilton aferentă matricilor de $3\times 3$ este următoarea: $\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right)$

Legături externe

• Matrice inversabile - teorie
• Matrice inversabile - exemplu de calcul