Sari la conținut

Matrice adjunctă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică matricea adjunctă,[1] cunoscută și sub numele de transpusa conjugată[2] sau transpusa hermitiană[2], a unei matrice complexe este o matrice de obținută prin transpunerea lui și conjugarea complexă a fiecărui element (conjugatul complex al lui fiind , pentru numere reale și ). Este adesea notată prin [1][3], [3] sau [4] și foarte obișnuit în fizică prin .

Pentru o matrice reală, adjuncta este chiar transpusa sa, .

Adjuncta unei matrice este definită formal prin:

unde indicii indică al -lea element, pentru și , iar suprabararea indică conjugatul complex al unui scalar.

Această definiție poate fi scrisă și ca

unde indică transpusa iar indică matricea cu elementele conjugate complex.

Adjuncta matricei este notată prin simbolurile:

  • , uzual în algebra liniară
  • uzual în algebra liniară
  • uzual în mecanica cuantică
  • , uzual pentru pseudoinversa Moore–Penrose⁠(d)

În unele cazuri prin este notată matricea cu doar elementele conjugate complex, fără a fi transpusă.

Se dorește calculul adjunctei următoarei matrice .

Se face transpunerea:

Apoi se conjugă complex fiecare element:

O matrice pătrată cu elementele se numește

  • hermitiană sau autoadjunctă dacă ; adică .
  • antihermitiană dacă ; adică .
  • normală dacă .
  • unitară dacă , echivalent , echivalent .

Chiar dacă nu este pătrată, cele două matrici și sunt ambele hermitiene și pozitiv semidefinite.

Adjuncta lui cu elemente reale se reduce la transpusa lui deoarece conjugatul unui număr real este numărul însuși.

Adjuncta poate fi motivată observând că numerele complexe pot fi reprezentate prin matrici reale , respectând adunarea și înmulțirea matricilor:

Adică, se asociază fiecărui număr complex matricea reală a transformării liniare din planul complex (văzut ca un spațiu vectorial real ), la care se aplică înmulțirea complexă a lui în .

Astfel, o matrice de numere complexe ar putea fi bine reprezentată printr-o matrice de numere reale. Prin urmare, adjuncta apare foarte natural ca rezultat al transpusei unei astfel de matrice — atunci când este privită din nou ca o matrice formată din numere complexe.

Proprietăți ale adjunctei

[modificare | modificare sursă]
  • pentru două matrice oarecare și de aceleași dimensiuni.
  • pentru orice număr complex și orice matrice .
  • pentru orice matrice și orice matrice . De observat că ordinea factorilor este inversată.[3]
  • pentru orice matrice , de exemplu adjuncta este o involuție.
  • Dacă este o matrice pătrată, atunci unde prin este notat determinantul lui .
  • Dacă este o matrice pătrată, atunci unde prin este notată urma lui .
  • este inversabilă dacă și numai dacă este inversabilă, iar în acest caz .
  • valorile proprii ale sunt conjugatele complexe ale valorilor proprii ale .
  • pentru orice matrice , orice vector și orice vector . Aici, prin este notat produsul intern complex standard pe , și similar pentru .
  1. ^ a b Veronica Teodora Borcea, Cătălina Ileana Davideanu, Corina Forăscu, Probleme de algebră liniară Anexa: Matrice și determinanți Arhivat în , la Wayback Machine., Iași, Ed. „Gh. Asachi”, 2000
  2. ^ a b Călin-Adrian Popa, Algoritmi de învățare pentru rețele neuronale Clifford (Teză de doctorat, 2015), Universitatea Politehnica Timișoara, accesat 2023-04-28
  3. ^ a b c en Weisstein, Eric W. „Conjugate Transpose”. mathworld.wolfram.com. Accesat în . 
  4. ^ en H. W. Turnbull, A. C. Aitken, "An Introduction to the Theory of Canonical Matrices," 1932

Legături externe

[modificare | modificare sursă]