Limită a unui șir

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Pe masură ce n crește, valoarea n sin(1/n) devine tot mai apropiată de 1. Spunem că limita acestui șir este 1.

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Istoric

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție

• Pentru un șir de numere reale $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$

Un număr real L se numește limita șirului x_n, notându-se sub forma:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |x_n−L| < ε.

• Pentru un șir de puncte $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ într-un spațiu metric M, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):

Un element $L\in M$ este numit limita șirului și se notează:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L,$

dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(x_n,L) < ε.

Exemple

• Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
• Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
• Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul aⁿ are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a^1/n are limita 1.

De asemenea:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{, dacă }}p>0$

$\lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{, dacă }}|a|<1$

$\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1$

$\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{, dacă }}a>0$

Cazul șirurilor de funcții

Articole principale: Convergență punctuală și Convergență uniformă.

Definiție. Fie $(f_{n})_{n}$ un șir de funcții, $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .$ Se spune că șirul $(f_{n})_{n}$ este punctual convergent pe $[a,b]$ către f pentru $n\to \infty$ și se scrie $f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f$ dacă $f_{n}(x_{0})\to f(x_{0})$ (în $\mathbb {R}$) pentru $\forall x\in [a,b].$

Definiție. Un șir $(f_{n})_{n}$ de funcții $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .$ se numește uniform convergent pe $[a,b]$ către o funcție $f:[a,b]\to \mathbb {R} .$ și se scrie $f_{n}{\overset {UC}{\longrightarrow }}f$  dacă este îndeplinită următoarea condiție:

$\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )$ natural astfel încât $\forall n\geq N(\varepsilon )$ să existe relația $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ,$ pentru $\forall x\in [a,b].$

Teoremă.

(a) Un șir $(f_{n})_{n}$ de funcții mărginite, $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ (adică: $f_{n}\in {\mathcal {M}},\;\forall n\geq 0$) este uniform convergent către o funcție $f\in {\mathcal {M}}$ dacă și numai dacă $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=0.$

(b) Orice șir de funcții $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ uniform convergent pe $[a,b]$ este punctual convergent pe $[a,b];$ reciproca este falsă.

Exemplu

Fie $[a,b]=[0,1]$ și $f_{n}(x)=x^{n},\;n\geq 1.$ Evident $\forall x\in [a,b]:$

$\lim _{n\to \infty }={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}$

adică $f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f,$ unde:

$f(x)={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}$

Dar $\|f_{n}-f\|=\sup _{x\in [0,1)}|f_{n}(x)-f(x)|=\max(\sup _{x\in [0,1)}f_{n}(x)-f(x),\;f_{n}(1)-f(1)|)=\max(\sup _{x\in [0,1)}x^{n},0)=1,\;$ deci $\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=1\neq 0.$ Așadar, șirul $f_{n}$ este $PC,$ dar nu este $UC$ pe $[0,1).$

Vezi și

• Șir convergent
• Limită a unei funcții
• Funcție exponențială
• Dobândă

Legături externe

• en Exemple de șiruri Arhivat în 15 decembrie 2010, la Wayback Machine.
• en A history of the calculus Arhivat în 5 septembrie 2004, la Wayback Machine.