Funcție mărginită

O ilustrare schematică a unei funcții mărginite (cu roșu) și a uneia nemărginite (cu albastru). Intuitiv, graficul unei funcții mărginite rămâne într-o bandă orizontală, în timp ce graficul unei funcții nemărginite nu.

În matematică o funcție f reală sau complexă, definită pe o mulțime X, este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este mărginită. Cu alte cuvinte, există un număr real M astfel încât

$|f(x)|\leq M$

pentru orice $x\in X$. Despre o funcție care nu este mărginită se spune că este nemărginită.

Dacă f are valoare reală și f(x) ≤ A pentru orice x din X, atunci se spune că funcția este mărginită superior de A. Dacă f(x) ≥ B pentru orice x din X, atunci se spune că funcția este mărginită inferior de B. O funcție reală este mărginită dacă și numai dacă este mărginită atât superior, cât și inferior.

Un caz particular important este un șir mărginit, unde X este considerat ca fiind mulțimea N de numere naturale. Astfel, un șir f = (a₀, a₁, a ₂, ...) este mărginit dacă există un număr real M astfel încât

$|a_{n}|\leq M$

pentru orice număr natural n.

Definiția mărginirii poate fi generalizată la funcțiile f : X → Y care iau valori într-un spațiu mai general Y prin necesitatea ca imaginea f(X) să fie o mulțime mărginită în Y.

Exemple

• Funcția sinus : $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ este mărginită deoarece $|\sin(x)|\leq 1$ pentru orice $x\in \mathbb {R}$.
• Funcția $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$, definită pentru orice x real cu excepția lui −1 și 1, este nemărginită. Cînd x se apropie de −1 sau de 1, valorile absolute ale acestei funcții cresc. Această funcție poate fi mărginită dacă se limitează domeniul ei, de exemplu la [2, ∞) sau (−∞, −2].
• Funcția ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$, definită pentru orice x real, este mărginită, deoarece ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ pentru orice x.
• Funcția arctangentă, definită drept: ${\textstyle y=\operatorname {arctg} (x)}$ sau ${\textstyle x=\operatorname {tg} (y)}$ este monoton crescătoare pentru orice x real și mărginită de ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$ radiani.
• Conform teoremei valorilor extreme^⁠(d), orice funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi $f:[0,1]\to \mathbb {R} ,$ este mărginită. În general, orice funcție continuă pe un spațiu compact într-un spațiu metric este mărginită.
• Toate funcțiile complexe $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ care sunt întregi sunt fie nemărginite, fie constante ca o consecință a teoremei lui Liouville^⁠(d). În particular, funcția complexă $\sin :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ trebuie să fie nemărginită deoarece este întreagă.
• Funcția $f$ care ia valoarea 0 pentru x rațional și 1 pentru x irațional este mărginită. Deci o funcție nu trebuie să fie „frumoasă” pentru a fi mărginită. Mulțimea tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât mulțimea funcțiilor continue din acel interval. În plus, funcțiile continue nu trebuie să fie mărginite; de exemplu, funcțiile $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ și $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ definite prin $g(x,y):=x+y$ și $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ sunt ambele continui, dar niciuna nu este mărginită. (Totuși, o funcție continuă trebuie să fie mărginită dacă domeniul său este atât închis, cât și mărginit.)