Transformată Laplace

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Salt la: Navigare, căutare

În ramura matematicii numită analiză funcţională, transformata Laplace, \scriptstyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}, este un operator liniar asupra unei funcţii f(t), numită funcţie original, de argument real t (t ≥ 0). Acest operator transformă originalul într-o altă funcţie F(s) de argument complex s, numită funcţie imagine. Această transformare este bijectivă în majoritatea cazurilor practice; perechile corespunzătoare de f(t) şi F(s) sunt grupate în tabele de transformate Laplace. Transformata Laplace are o proprietate foarte utilă, şi anume cea că multe relaţii şi operaţii ce se efectuează în mod curent asupra originalului f(t) corespund unor relaţii şi operaţii mai simplu de efectuat asupra imaginii F(s)[1].

Transformata Laplace are multe aplicaţii importante în matematică, fizică, optică, inginerie electrică, automatică, prelucrarea semnalelor şi teoria probabilităţilor. În matematică, este folosită la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale şi integrale. În fizică, este folosită la analiza sistemelor liniare invariante în timp cum ar fi circuite electrice, oscilatori armonici, dispozitive optice şi sisteme mecanice. În aceste analize, transformata Laplace este adesea interpretată ca o transformare din domeniul timp, în care intrările şi ieşirile sunt funcţii de timp, în domeniul frecvenţă, unde aceleaşi intrări şi ieşiri sunt funcţii de frecvenţa unghiulară complexă, sau radiani pe unitatea de timp. Dată fiind o descriere matematică sau funcţională simplă a unei intrări sau a unei ieşiri a unui sistem, transformata Laplace oferă o descriere funcţională alternativă care adesea simplifică procesul analizei comportamentului acelui sistem, sau pe cel de sintetizare a unui sistem pe baza unui set de specificaţii.

Transformata Laplace este numită astfel în onoarea matematicianului şi astronomului Pierre-Simon Laplace, care a utilizat această transformare în lucrarea sa despre teoria probabilităţilor.

Cuprins

[modifică] Definiţie formală

Transformata Laplace a unei funcţii f(t), definită pentru toate numerele reale t ≥ 0, este o funcţie F(s), definită prin expresia:

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t) \,dt.

Limita inferioară 0− este o notaţie prescurtată care înseamnă

\lim_{\varepsilon\to 0+}\int_{-\varepsilon;}^\infty

Parametrul s este în general complex:

s = \sigma + i \omega \,

Această transformare integrală are un număr de proprietăţi care o fac utilă în analiza liniară a sistemelor dinamice. Cel mai semnificativ avantaj este acela că derivarea şi integrarea devin, respectiv, înmulţire cu s şi împărţire la s (similar cu modul în care logaritmii transformă o operare de înmulţire a numerelor în adunare a logaritmilor lor). Aceasta transformă ecuaţiile integrale şi diferenţiale în ecuaţii polinomiale, care sunt mult mai uşor de rezolvat. Odată rezolvate ecuaţiile, se foloseşte transformata Laplace inversă pentru a aduce rezultatele înapoi în domeniul timp.

[modifică] Transformata Laplace bilaterală

Când se spune transformată Laplace, se înţelege implicit transformata Laplace unilaterală. Transformata Laplace poate fi definită şi ca transformata Laplace bilaterală prin extinderea limitelor de integrare de-a lungul întregii axe reale. Dacă se face aceasta, atunci transformata Laplace unilaterală devine doar un caz particular al transformatei bilaterale unde definiţia funcţiei este înlocuită de funcţie înmulţită cu treapta unitate Heaviside.

Transformata Laplace bilaterală este definită astfel:

F(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

[modifică] Transformata Laplace inversă

Transformata Laplace inversă este dată de următoarea integrală complexă, cunoscută sub mai multe nume (integrala Bromwich, integrala Fourier-Mellin sau formula inversă a lui Mellin):

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \cdot \infty}^{ \gamma + i \cdot \infty} e^{st} F(s)\,ds,

unde γ este un număr real astfel încât conturul căii de integrare este din regiunea de convergenţă a lui F(s) care necesită γ > Re(sp) pentru orice punct singular sp al lui F(s) şi i2 = −1. Dacă toate singularităţile se află în semiplanul stâng, adică Re(sp) < 0 oricare ar fi sp, atunci γ poate fi pus 0 şi formula integrală inversă de mai sus devine identică cu formula de la transformata Fourier inversă.

[modifică] Regiunea de convergenţă

Tranformata Laplace F(s) există pentru orice număr complex cu proprietatea că Re{s} > a, unde a este o constantă reală care depinde de variaţiile lui of f(t), iar transformata bilaterală este definită pe un interval a < Re{s} < b. Submulţimea valorilor lui s pentru care există transformata Laplace se numeşte regiunea sau domeniul de convergenţă. În cazul bilateral, este numit şi fâşia de convergenţă.

Nu există nişte anume condiţii care pot fi verificate la orice funcţie pentru a vedea dacă i se poate calcula transformata Laplace, altele decât convergenţa integralei din definiţie. Se pot însă da cu uşurinţă teoreme asupra unor cazuri în care poate sau nu să fie calculată.

[modifică] Proprietăţi şi teoreme

Date fiind funcţiile f(t) şi g(t), şi transformatele lor Laplace F(s) respectiv G(s):

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \}
g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}

următorul tabel constituie proprietăţile transformatei Laplace unilaterale:

Proprietăţile transformatei Laplace unilaterale
Domeniul timp Domeniul frecvenţă Observaţii
Liniaritatea a f(t) + b g(t) \ a F(s) + b G(s) \ Se demonstrează folosind proprietăţile de bază ale integralei.
Derivarea transformatei t f(t) \ -F'(s) \
Derivarea transformatei t^{n} f(t) \ (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ mai general
Derivarea originalului f'(t) \ s F(s) - f(0^-) \
Derivata a doua f''(t) \ s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \ Se aplică proprietatea de derivare lui f'(t).
Derivatele de ordin superior f^{(n)}(t) \ s^n F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-) \ Prin inducţie.
Integrarea frecvenţei \frac{f(t)}{t} \ \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \
Integrarea \int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t) {1 \over s} F(s) u(t) este funcţia treaptă Heaviside.
Scalarea f(at) \ {1 \over |a|} F \left ( {s \over a} \right )
Deplasarea transformatei e^{at} f(t) \ F(s - a) \
Deplasarea originalului f(t - a) u(t - a) \ e^{-as} F(s) \ u(t) este funcţia treaptă Heaviside
Convoluţia (f * g)(t) \ F(s) \cdot G(s) \
Funcţiile periodice f(t) \ {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t) este o funcţie periodică de perioadă T astfel încât f(t) = f(t + T), \; \forall t


  • Teorema valorii iniţiale:
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}
  • Teorema valorii finale:
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}, cu toţi polii în semiplanul din stânga.
Teorema valorii finale este utilă deoarece dă comportamentul pe termen lung fără necesitatea de a calcula descompuneri în fracţii parţiale sau a efectua alte calcule algebrice complicate. Dacă polii unei funcţii sunt în semiplanul drept (de ex. et sau sin(t)) comportamentul formulei este nedefinit.

[modifică] Vezi şi

[modifică] Note

  1. ^ Korn and Korn, Section 8.1

[modifică] Bibliografie

  • G.A. Korn and T.M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill Companies; 2nd edition (June 1967). ISBN 0-0703-5370-0
  • A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1986. ISBN 0-262-19229-2
  • Davies, Brian, Integral transforms and their applications (Springer, New York, 1978). ISBN 0-387-90313-5
  • Euler, L. (1744) "De constructione aequationum", Opera omnia 1st series, 22:150-161
  • — (1753) "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia 1st series, 22:181-213
  • — (1769) Institutiones calculi integralis 2, Chs.3-5, in Opera omnia 1st series, 12
  • Grattan-Guiness, I (1997) "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0
  • Lagrange, J. L. (1773) "Mémoire sur l'utilité de la méthode", Œuvres de Lagrange, 2:171-234
Adus de la http://ro.wikipedia.org/wiki/Transformat%C4%83_Laplace
Unelte personale