Teorema lui van Aubel

Există două teoreme van Aubel:

• una care descrie relația dintre centrele pătratelor construite pe laturile unui patrulater convex, teoremă publicată de Henricus Hubertus van Aubel în 1878.
• una care descrie relația dintre anumite segmente determinate de cevienele concurente într-un triunghi.

Teorema lui van Aubel referitoare la un patrulater

Tetragonul lui van Aubel

Pe laturile unui patrulater  $ABCD$  se construiesc în exterior pătratele de centre  $P,Q,R,S.$ 

Atunci segmentele  $[PR],[QS]$  sunt ortogonale și au aceeași lungime.

Demonstrație

Există mai multe demonstrații:

• o demonstrație bazată pe utilizarea numerelor complexe și scrierea afixelor punctelor  $A,B,C,D$  și  $P,Q,R,S;$
• o demonstrație bazată pe rotații ale vectorilor;
• o demonstrație bazată pe teorema lui Neuberg și pe faptul că punctele Q și S sunt imaginile punctelor Q și R printr-o rotație de centru situat în mijlocul segmentului [BD] și de unghi drept.

Ca o completare, teorema lui Thébault susține că  $ABCD$  este paralelogram dacă și numai dacă  $PQRS$  este pătrat.

Teorema lui van Aubel într-un triunghi

Ceviene concurente într-un triunghi

Într-un triunghi  $ABC$  se consideră cevienele  $AA',BB',CC'$  concurente în P, cu  $A'\in BC,\;B'\in CA,\;C'\in AB.$ 

Atunci:

${\frac {PA}{PA'}}={\frac {B'A}{B'C}}+{\frac {C'A}{C'B}}.$

Demonstrație

Se scriu raporturi de arii:

${\frac {PA}{PA'}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PA'B}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PA'C}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}+{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PA'B}+{\mathcal {A}}_{PA'C}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}+{\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}$

${\frac {B'A}{B'C}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AB}}{{\mathcal {A}}_{B'CB}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AP}}{{\mathcal {A}}_{B'CP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AB}-{\mathcal {A}}_{B'AP}}{{\mathcal {A}}_{B'CB}-{\mathcal {A}}_{B'CP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}$

${\frac {C'A}{C'B}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AC}}{{\mathcal {A}}_{C'BC}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AP}}{{\mathcal {A}}_{C'BP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AC}-{\mathcal {A}}_{C'AP}}{{\mathcal {A}}_{C'BC}-{\mathcal {A}}_{C'BP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PCB}}}$

O altă demonstrație se bazează pe utilizarea coordonatelor baricentrice:

${\frac {\overline {PA}}{\overline {PA'}}}=-{\frac {b+c}{a}}\quad {\frac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}=-{\frac {c}{a}}\quad {\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}=-{\frac {b}{a}},$

ceea ce conduce la egalitatea:

${\frac {\overline {PA}}{\overline {PA'}}}={\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}+{\frac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}$

Legături externe

• en Henricus Hubertus van Aubel la Genealogie Online.nl