Nabla

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În calculul vectorial, nabla este un operator diferenţial ce operează asupra vectorilor, operator reprezentat prin simbolul nabla: .

Nabla este o unealtă matematică ce foloseşte în primul rând ca o convenţie de notaţie; face multe ecuaţii mai uşor de înţeles, scris, şi reţinut. În funcţie de cum este aplicat operatorul, el poate descrie gradientul (panta), divergenţa sau rotorul.

Matematic, nabla poate fi privit ca o derivată în spaţiul multidimensional. Când este folosit într-o singură dimensiune, el ia forma derivatei din analiza matematică. Ca operator, el operează pe câmpuri vectoriale şi câmpuri scalare care suportă operaţii similare înmulţirii. Ca toţi operatorii, aceşti operatori similari înmulţirii nu trebuie să fie confundaţi cu înmulţirea; în particular, nabla nu comută.

[modifică] Definiţie

În coordonate carteziene tridimensionale, R³ cu coordonatele (x, y, z), nabla se defineşte ca

unde (i, j, k) este baza standard în R³.

Această definiţie poate fi generalizată într-un spaţiu euclidian, de dimensiune n Rⁿ. În sistemul de coordonate carteziene cu coordonatele (x₁, x₂, …, x_n), nabla este:

unde este baza standard în acest spaţiu.

Mai pe scurt, folosind notaţia Einstein, nabla se scrie ca

Nabla poate fi exprimat şi în alte sisteme de coordonate, de exemplu în coordonate cilindrice sau sferice.

[modifică] Notaţia cu nabla

Nabla este folosit drept formă prescurtată de scriere pentru simplificarea multor expresii matematice lungi. Cel mai adesea, este folosit pentru a simplifica expresiile pentru gradient, divergenţă, rotor, derivată direcţională şi Laplacian.