Gradient
De la Wikipedia, enciclopedia liberă
În calculul vectorial, gradientul unui câmp scalar este un câmp vectorial ai cărui vectori sunt îndreptăţi, în fiecare punct, în direcţia celei mai mari rate de creştere a câmpului scalar, şi al cărui modul este cea mai mare rată de schimbare.
O generalizare a gradientului, pentru funcţii definite pe un spaţiu Banach cu valori vectoriale, este Jacobianul.
[modifică] Interpretările gradientului
Dată fiind o cameră în care temperatura este dată de un câmp scalar φ, astfel încât în fiercare punct (x,y,z) temperatura este φ(x,y,z) (vom presupune că temperatura nu variază în timp). Atunci, în fiecare punct din cameră, gradientul va arăta direcţia în care temperatura creşte cel mai repede. Magnitudinea gradientului va determina cât de repede creşte temperatura în acea directie.
Fie un deal a cărui înălţime deasupra nivelului mării într-un punct (x,y) este H(x,y). Gradientul lui H într-un punct este un vector care arată direcţia în care panta este cea mai abruptă în acel punct. Cât de abruptă este panta în punctul respectiv este dat de modulul vectorului gradient.
Gradientul poate fi folosit şi pentru a măsura cât se modifică un câmp scalar în alte direcţii, şi nu doar direcţia în care se schimbă cel mai mult, efectuând un produs scalar. Considerând din nou exemplul cu dealul şi să presupunem că cea mai abruptă pantă de pe deal este 40%. Dacă un drum merge direct în sus pe acel deal, atunci cea mai abruptă pantă a drumului va fi chiar 40%. Dacă în schimb, drumul ocoleşte dealul în unghi cu direcţia dreaptă (vectorul gradient), atunci panta va fi mai mică. De exemplu, dacă unghiul dintre drum şi direcţia de pantă maximă, proiectată pe planul orizontal, este 60°, atunci cea mai abruptă pantă pe drum va fi de 20%, adică 40% înmulţit cu cosinus de 60°.
Această observaţie poate fi formulată matematic după cum urmează. Gradientul funcţiei înălţime a dealului H înmulţită scalar cu un vector unitate dă panta dealului în direcţia vectorului. Aceasta se numeşte derivată direcţională.
[modifică] Definiţie formală
Gradientul (sau câmpul de vectori gradient) unei funcţii scalare f(x) în raport cu o variabilă vectorială 
este notat cu 
sau 
unde 
este vectorul operator diferenţial nabla. Notaţia 
este şi ea folosită pentru gradient.
Prin definiţie, gradientul este un câmp vectorial ale cărui componente sunt derivatele parţiale ale lui f. Adică:
(Aici gradientul este scris ca vector rând, dar adesea este considerat a fi vector coloană; de notat că atunci când o funcţie are o componentă temporală, gradientul adesea se referă doar la vectorul derivatelor sale spaţiale.)
Produsul scalar 
al gradientului într-un punct x cu un vector v dă derivata direcţională a lui f în x în direcţia v. Rezultă că gradientul lui f este ortogonal pe curbele de nivel (în general, mulţimile de nivel) ale lui f. Aceasta arată că, deşi gradientul este definit în termeni de coordonate, el este de fapt invariant în raport cu transformările ortogonale, aşa cum şi trebuie să fie, în lumina interpretării geometrice date mai sus.
Deoarece gradientul este ortogonal pe mulţimile de nivel (mulţimile de-a lungul cărora f este constantă), poate fi folosit pentru a construi un vector normal la o suprafaţă. Considerând orice varietate care are dimensiunea cu unu mai mică decât spaţiul în care se află (adică o suprafaţa în 3D, o curbă în 2D, etc.). Fie această varietate definită de o ecuaţie de forma F(x, y, z) = 0. am transformat astfel varietatea într-o mulţime de nivel. Pentru a găsi un vector normal, se calculează doar gradientul lui F în punctul dorit.
Gradientul este un câmp vectorial nerotaţional, iar integralele curbilinii printr-un câmp de gradienţi sunt independente de drum şi pot fi evaluate cu ajutorul teoremei gradientului. Reciproca este şi ea adevărată, un câmp vectorial nerotaţional într-o regiune simplu conexă este întotdeauna gradientul unei funcţii.
