Laplacian

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică şi fizică, operatorul Laplace sau laplacianul, notat cu $\Delta\,$ sau $\nabla^2$ şi denumit după Pierre-Simon Laplace, este un operator diferenţial, şi anume un exemplu important de operator eliptic, care are multe aplicaţii. În fizică, este folosit în modelarea propagării undelor şi propagării căldurii, stând la baza ecuaţiei Helmholtz. Este esenţial în electrostatică şi mecanica fluidelor, prin prezenţa sa în ecuaţia Laplace şi ecuaţia Poisson. În mecanica cuantică, el reprezintă termenul energie cinetică din ecuaţia Schrödinger. În matematică, funcţiile al căror laplacian este nul se numesc funcţii armonice.

[modifică] Definiţie

Operatorul Laplace este un operator diferenţial de ordinul al doilea în spaţiul euclidian n-dimensional, definit ca divergenţa gradientului. Astfel, dacă f este o funcţie cu valori reale derivabilă de două ori, atunci laplacianul lui f este definit de relaţia

$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f,$ (1)

Echivalent, laplacianul lui f este suma tuturor derivatelor parţiale nemixte de ordinul doi în coordonate carteziene $x i$ :

$\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}.$ (2)

Ca operator de derivare de ordinul doi, operatorul Laplace transformă funcţii de clasă C^k în funcţii de clasă C^k-2 pentru k ≥ 2. Expresia (1) (sau echivalent (2)) defineşte un operator Δ : C^k(Rⁿ) → C^k-2(Rⁿ), sau, mai general, un operator Δ : C^k(Ω) → C^k-2(Ω) pentru orice mulţime deschisă Ω.