Teorema lui Stewart

În geometrie, Teorema lui Stewart furnizează o relație între lungimile laturilor unui triunghi și lungimea segmentului dintr-un vârf la un punct de pe latura opusă.

Fie a, b și c laturile unui triunghi. Fie p un segment din punctul A în puctul de pe latura a care divide această latură în segmentele x and y. Atunci:

$a (p^2 + x y ) = b^2 x + c^2 y. \,$

Reprezentare grafică

Demonstrație

Vom numi P punctul în care latura a și segmentul p se intersectează. Începem prin aplicarea legii cosinusurilor pentru unghiurile suplementare APB și APC.

$b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \,$

$c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta } \,$

Înmulțim prima relație cu x, iar a doua cu y :

$x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \,$

$y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta } \,$

Acum adunăm cele două ecuații:

$x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y), \,$

și obținem teorema lui Stewart.

Vezi și

• Teorema lui Apollonius
• Teorema medianei

Legături externe

• en Teorema lui Stewart la PlanetMath
• en Demonstrația teoremei la PlanetMath
• en Teorema lui Stewart la Wolfram MathWorld
• en Teorema lui Stewart ca un corolar al Teoremei lui Pitagora