Legea lui Coulomb

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Diagramă care descrie mecanismul de bază al legii lui Coulomb; sarcini de acelaşi semn se resping, iar sarcini de semne opuse se atrag.

Legea lui Coulomb, dezvoltată în anii 1780 de fizicianul francez Charles Augustin de Coulomb, poate fi enunţată în formă scalară după cum urmează:

Modulul forţei electrostatice între două sarcini electrice punctiforme este direct proporţională cu produsul celor două sarcini electrice şi invers proporţional cu pătratul distanţei dintre sarcini.

Cuprins

1 Forma scalară
- 1.1 Câmpul electric
2 Forma vectorială
- 2.1 Sistem de sarcini discrete
- 2.2 Distribuţia continuă de sarcină
3 Aproximarea electrostatică
4 Tabel de cantităţi calculate
5 Note

[modifică] Forma scalară

Balanţa de torsiune a lui Coulomb

Dacă nu este nevoie să se ştie direcţia forţei, atunci versiunea scalară, simplificată, a legii lui Coulomb este suficientă. Mărimea forţei aplicate unei sarcini, $\scriptstyle{q_1}$ , datorită prezenţei unei alte sarcini, $\scriptstyle{q_2}$ , este dată de modulul lui

$F = {1 \over 4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}$ ,

unde $\scriptstyle{r}$ este distanţa dintre sarcini şi $\scriptstyle{\varepsilon_0}$ este o constantă numită permitivitatea vidului. O forţă pozitivă implică interacţiune cu respingere, iar o forţă negativă înseamnă interacţiune cu atracţie.^[1]

Factorul de scalare, denumit constanta electrostatică, sau constanta lui Coulomb ( $\scriptstyle{k_C}$ ), este:

$k_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.988 \times 10^9$ N m²C⁻² (sau m F⁻¹).^[2]

În unităţi cgs, unitatea de sarcină, esu de sarcină sau statcoulomb, este definită astfel încât această constantă Coulomb să fie 1.

Această formulă spune că modulul forţei este direct proporţional cu mărimea sarcinilor fiecărui obiect şi invers proporţională cu pătratul distanţei între ele. S-a descoperit că exponentul din legea lui Coulomb este diferit de -2 cu mai puţin de o milionime.^[3]

Când se măsoară în unităţi folosite pe larg (cum ar fi MKS - vezi Sistemul internaţional), constanta forţei Coulomb, $\scriptstyle{k_C}$ , este numeric mult mai mare decât constanta gravitaţională universală $\scriptstyle{G}$ . Aceasta înseamnă că pentru obiecte a căror sarcină este de ordinul unei unităţi de sarcină (C) şi masă de ordinul unităţii de masă (kg), forţele electrostatice vor fi cu mult mai mari decât forţele gravitaţionale încât acestea din urmă se pot ignora. Nu este cazul, însă, atunci când este vorba de unităţi Planck şi sarcina şi masa sunt de ordinul unităţii de sarcină, respectiv masă. Totuşi, particule elementare încărcate au masa mult mai mică decât masa Planck, pe când sarcina lor este de ordinul sarcinii Planck, şi, din nou forţele gravitaţionale se pot ignora. De exemplu, forţa electrostatică dintre un electron şi un proton, care constituie un atom de hidrogen, este de aproape 40 ordine de mărime mai mare decât forţa gravitaţională dintre ele.^[4]

Legea lui Coulomb poate fi interpretată şi în termeni de unităţi atomice cu forţa exprimată în Hartree pe rază Bohr, sarcina în termeni de sarcini elementare, iar distanţele în termeni de rază Bohr.

[modifică] Câmpul electric

Pentru detalii, vezi: Câmp electric.

Rezultă din legea forţelor a lui Lorentz că modulul câmpului electric $\scriptstyle{\mathbf{E}}$ creat de o singură sarcină punctiformă $\scriptstyle{q}$ este dat de

$E = {1 \over 4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$

Pentru o sarcină pozitivă $\scriptstyle{q}$ , direcţia lui $\scriptstyle{\mathbf{E}}$ este una din direcţiile îndreptate radial, cu centrul în locaţia sarcinii punctiforme şi sensul în direcţia opusă sarcinii, iar pentru sarcina negativă, sensul este opus. Câmpul electric este măsurat în volţi pe metru sau newtoni pe coulomb.

[modifică] Forma vectorială

Pentru a obţine atât modulul cât şi direcţia unei forţe aplicate unei sarcini electrice, $\scriptstyle{q_1}$ în poziţia $\scriptstyle{\mathbf{r}_1}$ , într-un câmp electric datorat prezenţei unei alte sarcini, $\scriptstyle{q_2}$ în poziţia $\scriptstyle{\mathbf{r}_2}$ , este necesară forma vectorială completă a legii lui Coulomb.

$\mathbf{F} = {1 \over 4\pi\varepsilon_0}{q_1q_2(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \over |\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} = {1 \over 4\pi\varepsilon_0}{q_1q_2 \over r^2}\mathbf{\hat{r}}_{21}$ ,

unde $\scriptstyle{r}$ este separaţia dintre cele două sarcini. De observat că aceasta este chiar forma scalară a legii lui Coulomb cu direcţia dată de vectorul unitate, $\scriptstyle{\mathbf{\hat{r}}_{21}}$ , paralel cu dreapta ce uneşte cele două sarcini şi orientat cu sensul de la sarcina $\scriptstyle{q_2}$ spre sarcina $\scriptstyle{q_1}$ .^[4]

Dacă ambele sarcini au acelaşi semn (sarcini similare) atunci produsul $\scriptstyle{q_1q_2}$ este pozitiv şi deci sensul forţei aplicate asupra lui $\scriptstyle{q_1}$ este dat de $\scriptstyle{\mathbf{\hat{r}}_{21}}$ ; sarcinile se resping. Dacă sarcinile sunt de semne opuse, atunci produsul $\scriptstyle{q_1q_2}$ este negativ şi sensul forţei ce acţionează asupra lui $\scriptstyle{q_1}$ este dat de $-\scriptstyle{\mathbf{\hat{r}}_{21}}$ ; sarcinile se atrag.

[modifică] Sistem de sarcini discrete

Principiul superpoziţiei liniare poate fi folosit pentru a calcula forţa pe o sarcină de test mică, $\scriptstyle{q}$ , datorată unui sistem de $\scriptstyle{N}$ sarcini discrete:

$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = {q \over 4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N {q_i(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i) \over |\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|^3} = {q \over 4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N {q_i \over R_{i}^2}\mathbf{\hat{R}}_{i}$ ,

unde $\scriptstyle{q_i}$ and $\scriptstyle{\mathbf{r}_i}$ sunt, respectiv, modulul şi poziţia sarcinii $\scriptstyle{i^{th}}$ , $\scriptstyle{\mathbf{\hat{R}}_{i}}$ este un vector unitate pe direcţia $\scriptstyle{\mathbf{R}_{i} = \mathbf{r} - \mathbf{r}_i}$ (un vector cu baza în $\scriptstyle{q_i}$ şi îndreptat spre sarcina $\scriptstyle{q}$ ), şi $\scriptstyle{R_{i}}$ este modulul lui $\scriptstyle{\mathbf{R}_{i}}$ (distanţele dintre sarcinile $\scriptstyle{q_i}$ şi $\scriptstyle{q}$ ).^[4]

[modifică] Distribuţia continuă de sarcină

Pentru o distribuţie de sarcină, o integrală peste regiunea ce conţine sarcina este echivalentă cu o sumă infinită a unor elemente infinitezimale, fiecare astfel de element infinitezimal de spaţiu fiind tratat ca o sarcină punctiformă $\scriptstyle{dq}$ .

Pentru o distribuţie liniară de sarcină (o bună aproximaţie pentru sarcina pe un cablu) unde $\scriptstyle{\lambda(\mathbf{r^\prime})}$ dă sarcina pe unitatea de lungime în punctul $\scriptstyle{\mathbf{r^\prime}}$ , şi $\scriptstyle{dl^\prime}$ este un element infinitezimal de lungime,

$dq = \lambda(\mathbf{r^\prime})dl^\prime$ .^[5]

Pentru o distribuţie superficială de sarcină (o bună aproximaţie pentru sarcina de pe armătura unui condensator) unde $\scriptstyle{\sigma(\mathbf{r^\prime})}$ reprezintă sarcina pe unitatea de suprafaţă la poziţia $\scriptstyle{\mathbf{r^\prime}}$ , iar $\scriptstyle{dA^\prime}$ este un element infinitezimal de arie,

$dq = \sigma(\mathbf{r^\prime})dA^\prime$ .

Pentru o distribuţie volumică de sarcină (cum ar fi în cadrul unei bucăţi de metal sau a unui volum de aer) unde $\scriptstyle{\rho(\mathbf{r^\prime})}$ dă sarcina pe unitatea de volum în poziţia $\scriptstyle{\mathbf{r^\prime}}$ , iar $\scriptstyle{dV^\prime}$ este un element infinitezimal de volum,

$dq = \rho(\mathbf{r^\prime})dV^\prime$ .^[4]

Forţa pe o sarcină mică de test $\scriptstyle{q}$ în poziţia $\scriptstyle{\mathbf{r}}$ este dată de

$\mathbf{F} = \int dq {\mathbf{r} - \mathbf{r^\prime} \over |\mathbf{r} - \mathbf{r^\prime}|^3}$ .

[modifică] Aproximarea electrostatică

În oricare formulare, legea lui Coulomb este exactă doar când obiectele sunt staţionare, şi rămâne aproximativ corectă pentru sarcini în mişcare lentă. Aceste condiţii sunt cunoscute împreună sub numele de aproximarea electrostatică. Când are loc mişcarea, sunt produse câmpuri magnetice care modifică forţele asupra fiecărei componente. Interacţiunea magnetică dintre sarcinile în mişcare poate fi considerată o manifestare a forţei din câmpul electrostatic, dar ţinând cont de teoria relativităţii a lui Einstein.