Valuare (algebră)

În algebră (în particular în geometria algebrică sau teoria algebrică a numerelor), o valuare^[1] este o funcție definită pe un corp care oferă o măsură a mărimii sau a multiplicității elementelor corpului. Aceasta generalizează în algebra comutativă noțiunea de mărime inerentă considerării gradului unui pol sau multiplicității unui zero din analiza complexă, gradul de divizibilitate al unui număr cu un număr prim din teoria numerelor și conceptul geometric de contact dintre două varietăți algebrice sau analitice din geometria algebrică. Un corp înzestrat cu o valuare se numește corp valuat.

Definiție

Se începe cu următoarele obiecte:

un corp comutativ $K$ și grupul său multiplicativ K^×,
un grup abelian total ordonat $(Γ, +, \geq)$ .

Ordonarea și legea grupului din $Γ$ sunt extinse la mulțimea $Γ \cup {\infty$ }^[a] prin următoarele reguli:

$\infty \geq α$ , pentru orice $α$ ∈ $Γ$ ,
$\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ , pentru orice $α$ ∈ $Γ$ .

O valuare a lui $K$ este orice funcție

v : K \to Γ \cup {\infty

}

care satisface următoarele proprietăți pentru orice elemente a și b din K:

$v (a) = \infty$ dacă și numai dacă $a = 0$ ,
$v (ab) = v (a) + v (b)$ ,
$v (a + b) \geq min(v (a), v (b))$ , cu egalitate dacă v(a) ≠ v(b).

O valuare v este trivială dacă v(a) = 0 pentru orice a din K^×, iar în caz contrar este netrivială.

A doua proprietate afirmă că orice valuare este un morfism de grupuri pe K^×. A treia proprietate este o versiune a inegalității triunghiului pe spații metrice adaptată la un Γ arbitrar (a se vedea Notația multiplicativă de mai jos). Pentru valuările utilizate în aplicații geometrice, prima proprietate implică faptul că orice germen nevid al unei varietăți analitice în apropierea unui punct conține acel punct.

Valuarea poate fi interpretată ca ordinul termenului de ordin dominant.^[b] A treia proprietate corespunde atunci ordinului unei sume, fiind ordinul termenului cel mai mare,^[c] cu excepția cazului în care cei doi termeni au același ordin, caz în care se pot anula, iar suma ar avea un ordin mai mare.

În multe aplicații, $Γ$ este un subgrup aditiv al numerelor reale $\mathbb {R}$ ^[d], caz în care ∞ poate fi interpretat ca +∞ în mulțimea numerele reale extinse; se observă că $\min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a$ pentru orice număr real a, și astfel +∞ este elementul neutru al legii de compoziție minimum. Numerele reale (extinse cu +∞) cu operațiile de minimum și adunare formează un semi-inel, numit semi-inelul tropical min,^[e] și o valuare v este aproape un morfism de semi-inele de la K la semi-inelul tropical, cu excepția faptului că proprietatea de morfism nu este neapărat îndeplinită atunci când se adună două elemente cu aceeași valuare.

Notație multiplicativă și valori absolute

Conceptul a fost dezvoltat de Emil Artin în cartea sa Geometric Algebra scriind grupul în notație multiplicativă ca $(Γ, \cdot, \geq)$ :^[2]

În loc de ∞, se adaugă în Γ un simbol formal O, cu ordonarea și legea de grup extinse prin următoarele reguli:

$O \leq α$ , pentru orice $α$ ∈ $Γ$ ,
$O \cdot α = α \cdot O = O$ , pentru orice $α$ ∈ $Γ$ .

Atunci o valuare a lui $K$ este orice funcție

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O

}

care satisface următoarele proprietăți pentru orice a, b ∈ K:

$|a| v = O$ dacă și numai dacă $a = 0$ ,
$|ab| v = |a| v \cdot |b| v$ ,
$|a+b| v \leq max(|a| v, |b| v)$ , cu egalitate dacă $|a| v \neq |b| v$ .

(De remarcat că direcțiile inegalităților sunt inversate față de cele din notația aditivă.)

Dacă $Γ$ este un subgrup al numerelor reale pozitive cu operația de înmulțire, ultima condiție este inegalitatea ultrametrică, o formă mai puternică a inegalității triunghiului $|a+b| v \leq |a| v + |b| v$ , iar $| \cdot | v$ este o valoare absolută. În acest caz, se poate trece la notația aditivă cu grup de valori $\Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)$ luând $v + (a) = -log |a| v$ .

Fiecare valuare pe $K$ definește o preordine liniară corespunzătoare: $a ≼ b \Leftrightarrow |a| v \leq |b| v$ . Reciproc, fiind dată o relație „ $≼$ ” care satisface proprietățile cerute, putem defini valuarea $|a| v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ }, cu înmulțirea și ordonarea bazate pe $K$ și $≼$ .

Terminologie

În acest articol folosim termenii definiți mai sus în notația aditivă. Cu toate acestea, unii autori folosesc termeni alternativi:

„valuarea” noastră (care satisface inegalitatea ultrametrică) se numește „valuare exponențială” sau „valoare absolută nearhimediană” sau „valoare absolută ultrametrică”;
„valoarea absolută” a noastră (care satisface inegalitatea triunghiului) se numește „valuare” sau „valoare absolută arhimediană”.

Obiecte asociate

Există mai multe obiecte definite pe baza unei valuări date $v : K \to Γ \cup {\infty$ };

grupul de valori sau grupul de valuare $Γ v$ = v(K^×), un subgrup al lui $Γ$ (deși v este de obicei surjectivă, astfel că $Γ v$ = $Γ$ );
inelul de valuare R_v este mulțimea elementelor a∈ $K$ cu v(a) ≥ 0,
idealul prim m_v este mulțimea elementelor a∈K cu v(a) > 0 (este de fapt un ideal maximal al lui R_v),
corpul de reziduuri k_v = R_v/m_v,
locul lui $K$ asociat lui v, clasa lui v în raport cu relația de echivalență definită mai jos.

Proprietăți de bază

Echivalența valuărilor

Două valuări v₁ și v₂ ale lui $K$ cu grupurile de valuare Γ₁, respectiv Γ₂, se spune că sunt echivalente dacă există un izomorfism de grupuri $φ : Γ 1 \to Γ 2$ care păstrează ordonarea astfel încât v₂(a) = φ(v₁(a)) pentru orice a din K^×. Aceasta este o relație de echivalență.

Două valuări ale lui K sunt echivalente dacă și numai dacă au același inel de valuare.

O clasă de echivalență de valuări ale unui corp se numește loc. Teorema lui Ostrowski oferă o clasificare completă a locurilor corpului de numere raționale $\mathbb {Q} :$ acestea sunt exact clasele de echivalență ale valuărilor completărilor p-adice ale lui $\mathbb {Q} .$

Extinderea valuărilor

Fie v o valuare a lui $K$ și fie L o extindere a corpului $K$ . O extindere a lui v (la L) este o valuare w a lui L cu proprietatea că restricția lui w la $K$ este v. Mulțimea tuturor acestor extinderi este studiată în teoria ramificației valuărilor.

Fie L/K o extindere finită și fie w o extindere a lui v la L. Indicele lui Γ_v în Γ_w, e(w/v) = [Γ_w : Γ_v], se numește indice de ramificare redus al lui w peste v. Acesta satisface inegalitatea e(w/v) ≤ [L : K] (gradul extinderii L/K). Gradul relativ al lui w peste v este definit ca fiind f(w/v) = [R_w/m_w : R_v/m_v] (gradul extinderii de corpuri de reziduuri). Este, de asemenea, mai mic sau egal cu gradul extinderii L/K. Când extinderea L/K este separabilă, indicele de ramificare a lui w peste v este definit ca fiind e(w/v)pⁱ, unde pⁱ este gradul de inseparabilitate al extinderii R_w/m_w peste R_v/m_v.

Corpuri valuate complete

Când grupul abelian ordonat $Γ$ este grupul aditiv al numerelor întregi, valuarea asociată este echivalentă cu o valoare absolută și, prin urmare, induce o metrică pe corpul $K$ . Dacă $K$ este complet în raport cu această metrică, atunci se numește corp valuat complet. Dacă K nu este complet, se poate folosi valuarea pentru a construi completarea acestuia, ca în exemplele de mai jos, iar valuări diferite pot defini completări de corpuri diferite.

În general, o valuare induce o structură uniformă pe $K$ , iar $K$ se numește corp valuat complet dacă este complet ca spațiu uniform. Există o proprietate înrudită cunoscută sub numele de completitudine sferică: este echivalentă cu completitudinea dacă $\Gamma =\mathbb {Z} ,$ dar mai puternică în general.

Exemple

Valuarea p-adică

Cel mai de bază exemplu este valuarea $p$ -adică ν_p asociată unui număr prim p, pe numerele raționale $K=\mathbb {Q} ,$ cu inelul de valuare $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ unde $\mathbb {Z} _{(p)}$ este localizarea lui $\mathbb {Z}$ la idealul prim $(p)$ . Grupul de valuare este grupul aditiv al numerelor întregi $\Gamma =\mathbb {Z} .$ Pentru un număr întreg $a\in R=\mathbb {Z} ,$ valuarea ν_p(a) măsoară divizibilitatea lui a prin puterile lui p:

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divide }}a\};

iar pentru o fracție, ν_p(a/b) = ν_p(a) − ν_p(b).

Scriind acest lucru în notație multiplicativă, se obține valoarea absolută $p$ -adică, care în mod convențional are ca bază $1/p=p^{-1}$ , deci $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$ .

Completarea lui $\mathbb {Q}$ în raport cu ν_p este corpul $\mathbb {Q} _{p}$ al numerelor p-adice.

Ordinul de anulare

Fie K = F(x), funcțiile raționale pe dreapta afină X = F¹, și un punct a ∈ X. Pentru un polinom $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}$ cu $a_{k}\neq 0$ , se definește v_a(f) = k, ordinul de anulare în x = a; și v_a(f /g) = v_a(f) − v_a(g). Atunci inelul de valuare R este format din funcții raționale fără pol în x = a, iar completarea este inelul de serii Laurent formale F((x−a)). Acest lucru poate fi generalizat la corpul seriilor Puiseux K{{t}} (puteri fracționare), corpul Levi-Civita (completarea Cauchy a sa) și corpul seriilor Hahn, cu valuarea în toate cazurile returnând cel mai mic exponent al lui t care apare în serie.

Valuarea $π$ -adică

Generalizând exemplele anterioare, fie $R$ un domeniu cu ideale principale, $K$ corpul său de fracții iar $π$ un element ireductibil al lui $R$ . Deoarece fiecare domeniu cu ideale principale este un inel factorial, fiecare element nenul a al lui $R$ poate fi scris (esențialmente) în mod unic ca

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

unde e-urile sunt numere naturale și p_i -urile sunt elemente ireductibile ale lui $R$ care nu sunt asociate cu $π$ . În particular, numărul e_a este unic determinat de a.

Valuarea π-adică a lui K este dată de

$v_{\pi }(0)=\infty$
$v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ pentru }}a,b\in R,a,b\neq 0.$

Dacă π' este un alt element ireductibil al lui $R$ astfel încât (π') = (π) (adică generează același ideal în R), atunci valuarea π-adică și valuarea π'-adică sunt egale. Astfel, valuarea π-adică poate fi numită valuarea P-adică, unde P = (π).

Valuare p-adică pe un domeniu Dedekind

Exemplul anterior poate fi generalizat la domenii Dedekind. Fie $R$ un domeniu Dedekind, $K$ corpul său de fracții și fie P un ideal prim nenul al lui $R$ . Atunci, localizarea lui $R$ la P, notată R_P, este un domeniu cu ideale principale al cărui corp de fracții este $K$ . Construcția din secțiunea anterioară aplicată idealului prim PR_P al lui R_P conduce la valuarea $P$ -adică a lui $K$ .

Spații vectoriale peste corpuri de valuare

Presupunem că $Γ$ ∪ {0} este mulțimea numerelor reale nenegative cu operația de înmulțire. Spunem că valuarea este nediscretă dacă imaginea sa (grupul de valuare) este infinită (și, prin urmare, are un punct de acumulare în 0).

Presupunem că X este un spațiu vectorial peste K și că A și B sunt submulțimi ale lui X. Atunci spunem că A absoarbe B dacă există un α ∈ K astfel încât λ ∈ K și |λ| ≥ |α| implică B ⊆ λ A. A se numește radial sau absorbant dacă absoarbe fiecare submulțime finită a lui X. Submulțimile radiale ale lui X sunt invariante la intersecții finite. De asemenea, A se numește încercuit dacă λ în K și |λ| ≥ |α| implică λ A ⊆ A. Mulțimea de submulțimi încercuite ale lui L este invariantă în raport cu intersecțiile arbitrare. Învelișul încercuit al lui A este intersecția tuturor submulțimilor încercuite ale lui X care conțin A.

Presupunem că X și Y sunt spații vectoriale peste un corp valuat nediscret K, fie A ⊆ X, B ⊆ Y și fie f : X → Y o aplicație liniară. Dacă B este încercuit sau radial, atunci $f^{-1}(B)$ este la fel. Dacă A este încercuit, atunci f(A) este la fel, dar dacă A este radial, atunci f(A) va fi radial cu condiția suplimentară că f este surjectivă.

Note

^ Simbolul ∞ desemnează un element care nu se află în $Γ$ , fără altă semnificație. Proprietățile sale sunt definite de axiomele date.
^ Cu convenția min aici, valuarea este mai degrabă interpretată ca opusul ordinului termenului de ordin dominant, dar cu convenția max poate fi interpretată ca ordin.
^ Din nou, inversate deoarece se folosește convenția cu minimum.
^ Orice grup arhimedian este izomorf cu un subgrup al numerelor reale în raport cu adunarea, dar există și grupuri ordonate nearhimediene, cum ar fi grupul aditiv al unui corp ordonat nearhimedian.
^ În semi-inelul tropical, minimumul și adunarea numerelor reale sunt considerate adunare tropicală și înmulțire tropicală; acestea sunt operațiile semi-inelului.

Bibliografie

^ Ion D. Ion, Nicolae Radu (1991). Algebră (ed. 4). Editura didactică și pedagogică. p. 408.
^ Emil Artin Geometric Algebra, paginile 47-49, via Internet Archive

Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002
Jacobson, Nathan (1989) [1980], „Valuations: paragraph 6 of chapter 9”, Basic algebra II (ed. 2nd), New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1976) [1960], Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics, 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, Zbl 0322.13001
Schaefer, Helmut H.; Wolff, M.P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 3. New York: Springer-Verlag. pp. 10–11. ISBN 9780387987262.

Legături externe

Danilov, V.I. (2001), „Valuation”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Discrete valuation la PlanetMath
Valuation la PlanetMath
Eric W. Weisstein, Valuation la MathWorld.

[2] Simbolul ∞ desemnează un element care nu se află în $Γ$ , fără altă semnificație. Proprietățile sale sunt definite de axiomele date.

[3] Cu convenția min aici, valuarea este mai degrabă interpretată ca opusul ordinului termenului de ordin dominant, dar cu convenția max poate fi interpretată ca ordin.

[4] Din nou, inversate deoarece se folosește convenția cu minimum.

[5] Orice grup arhimedian este izomorf cu un subgrup al numerelor reale în raport cu adunarea, dar există și grupuri ordonate nearhimediene, cum ar fi grupul aditiv al unui corp ordonat nearhimedian.

[6] În semi-inelul tropical, minimumul și adunarea numerelor reale sunt considerate adunare tropicală și înmulțire tropicală; acestea sunt operațiile semi-inelului.

[1] Ion D. Ion, Nicolae Radu (1991). Algebră (ed. 4). Editura didactică și pedagogică. p. 408.

[7] Emil Artin Geometric Algebra, paginile 47-49, via Internet Archive

[1]

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[2]