Inel factorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Inele factoriale

Definitia 1: Un inel integru R se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi, dacă orice element nenul și neinversabil din R se descompune într-un produs finit de elemente prime. Inelele \mathbb{Z}, \mathbb{Z}[i],\mathbb{Z}[(1+i\sqrt{3})/2] și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într-un corp sunt inele factoriale.

Teorema 2: Fie R un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) R este un inel factorial b) Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de elemente ireductibile și, orice element ireductibil este prim. c) Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere. d) Orice element nenul și neinversabil din R este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din R au un cel mai mare divizor comun.

Proprietatea 3: Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun.

Teorema 4: (a lui Gauss) Dacă R este un inel factorial, atunci R[X] este inel factorial.

Fie R un inel integru și f\inR[X] . Se spune că f este un polinom primitiv dacă coeficienții lui f nu se divid cu același element prim din R . Dacă R este inel factorial , se notează cu c(f)cel mai mare divizor comun al coeficienților lui f . Polinomul f va fi primitiv dacă și numai dacă c(f)=1 . Orice polinom f\inR[X] se va scrie sub forma f=c(f)f^\prime , unde f^\prime este un polinom primitiv.

Proprietatea 5: Dacă R este un inel factorial și f,g sunt două polinoame din R[X] , atunci c(f,g) este asociat cu c(f)c(g) . În particular, produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv.

Lema 6: Fie R[X] un inel factorial, și a\inR[X],a\ne0 cu g polinom primitiv. Dacă g divide produsul af , atunci g divide pe f. În particular, dacă pentru două polinoame primitive f și g din R[X] avem relația ag=bf cu a,b\inR[X],a\ne0, atunci f și g sunt asociate.