Inel factorial

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Inele factoriale

Definitia 1: Un inel integru se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi, dacă orice element nenul și neinversabil din se descompune într-un produs finit de elemente prime. Inelele , , și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într-un corp sunt inele factoriale.

Teorema 2: Fie un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente: a) este un inel factorial b) Orice element nenul și neinversabil din se descompune în produs finit de elemente ireductibile și, orice element ireductibil este prim. c) Orice element nenul și neinversabil din se descompune în produs finit de elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere. d) Orice element nenul și neinversabil din este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din au un cel mai mare divizor comun.

Proprietatea 3: Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun.

Teorema 4: (a lui Gauss) Dacă este un inel factorial, atunci este inel factorial.

Fie R un inel integru și . Se spune că este un polinom primitiv dacă coeficienții lui nu se divid cu același element prim din . Dacă este inel factorial , se notează cu cel mai mare divizor comun al coeficienților lui . Polinomul va fi primitiv dacă și numai dacă . Orice polinom se va scrie sub forma , unde este un polinom primitiv.

Proprietatea 5: Dacă este un inel factorial și sunt două polinoame din , atunci este asociat cu . În particular, produsul a două polinoame primitive este polinom primitiv.

Lema 6: Fie un inel factorial, și , cu polinom primitiv. Dacă divide produsul , atunci divide pe . În particular, dacă pentru două polinoame primitive și din avem relația cu ,, atunci și sunt asociate.