The Fifty-Nine Icosahedra

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Diagrama de stelare a icosaedrului, cu triunghiul central marcat pentru icosaedrul originar

The Fifty-Nine Icosahedra (în română Cele cincizeci și nouă de icosaedre) este o carte scrisă și ilustrată de H.S.M. Coxeter, P. Du Val, H.T. Flather și J.F. Petrie. Enumeră stelările icosaedrului regulat (convex, platonic), conform unui set de reguli propuse de J.C.P. Miller.

A fost publicată prima dată de Universitatea din Toronto în 1938, a urmat o a doua ediție de Springer-Verlag în 1982. A treia ediție, a lui Tarquin, din 1999 a inclus noi materiale de referință și fotografii de K. și D. Crennell.

Contribuțiile autorilor[modificare | modificare sursă]

Regulile lui Miller[modificare | modificare sursă]

Deși Miller nu a contribuit direct la carte, a fost un coleg apropiat al lui Coxeter și al lui Petrie. Contribuția sa este imortalizată în setul său de reguli pentru definirea formelor de stelate care ar trebui considerate „în mod corespunzător și distincte”:[1]

(i) Fețele trebuie să se afle în douăzeci de plane, adică planele de delimitare ale icosaedrului regulat.
(ii) Toate părțile care compun fețele trebuie să fie aceleași în fiecare plan, deși pot fi destul de deconectate.
(iii) Părțile cuprinse în orice plan trebuie să aibă simetrie triunghiulară, cu sau fără reflexie. Acest lucru asigură simetria icosaedrică pentru întregul corp.
(iv) Părțile cuprinse în orice plan trebuie să fie toate „accesibile” în corpul completat (adică trebuie să fie în „exterior”. În anumite cazuri ar trebui să fie necesare modele de dimensiuni enorme pentru a vedea tot exteriorul). Cu un model de dimensiuni obișnuite, unele părți ale „exteriorului” ar putea fi explorate doar de o insectă târâtoare).
(v) Nu se iau în considerare cazurile în care părțile pot fi împărțite în două seturi, fiecare dând un corp cu la fel de multă simetrie ca întreaga figură. Dar se permite combinarea unei perechi enantiomorfe care nu au vreo parte comună (ceea ce de fapt apare într-un singur caz).

Regulile (i) până la (iii) sunt cerințe de simetrie pentru planele fețelor. Regula (iv) exclude găurile ascunse, ca să nu existe două stelări identice în exterior. Regula (v) previne orice compus format din stelări mai simple deconectate.

Coxeter[modificare | modificare sursă]

Coxeter a fost principala forță motrice din spatele lucrării. El a efectuat analiza originală pe baza regulilor lui Miller, adoptând o serie de tehnici precum combinatorica și teoria grafurilor abstractă a căror utilizare într-un context geometric a fost atunci inedită.

El a observat că diagrama de stelare cuprindea multe segmente. Apoi a dezvoltat proceduri pentru manipularea combinațiilor regiunilor din plane adiacente, pentru a enumera formal combinațiile permise de regulile lui Miller.

Graful său, reprodus alături, arată conectivitatea diferitelor fețe identificate în diagrama de stelare (vezi mai jos). Simbolurile grecești reprezintă seturi de alternative posibile:

λ poate fi 3 sau 4
μ poate fi 7 sau 8
ν poate fi 11 sau 12

Du Val[modificare | modificare sursă]

Du Val a conceput o notație simbolică pentru a identifica seturile de „celule” (a nu se confunda cu 3-față) congruente, pe baza observației că acestea se află în „straturi” (în original în „cochilii”) în jurul icosaedrului originar. Pe baza acestui fapt, el a testat toate combinațiile posibile conform regulilor lui Miller, confirmând rezultatul abordării mai analitice a lui Coxeter.

Flather[modificare | modificare sursă]

Contribuția lui Flather a fost indirectă: a făcut modele de carton pentru toate cele 59 de cazuri. Când l-a întâlnit prima dată pe Coxeter, el făcuse deja multe stelări, inclusiv câteva exemple care nu satisfăceau regulile lui Miller. El a continuat să realizeze toată seria de cincizeci și nouă de modele, care sunt păstrate în biblioteca matematică a Universității Cambridge. Biblioteca deține și câteva modele care nu satisfac regulile lui Miller, dar nu se știe dacă acestea au fost făcute de Flather sau de studenții de mai târziu ai lui Miller.[2]

Petrie[modificare | modificare sursă]

John Flinders Petrie a fost un prieten de-o viață cu Coxeter și avea o abilitate remarcabilă în vizualizarea geometriei cvadridimensionale. El și Coxeter lucraseră împreună la multe probleme matematice. Contribuția sa directă la cele cincizeci și nouă de icosaedre a fost setul rafinat de desene tridimensionale care oferă o mare parte din fascinația lucrării publicate.

Kate și David Crennell[modificare | modificare sursă]

Pentru cea de-a treia ediție, Kate și David Crennell au revizuit textul și au redesenat figurile. Ei au adăugat și o secțiune de referință care conține tabele, diagrame și fotografii ale unora dintre modelele de la Cambridge (care la acea vreme erau considerate a fi ale lui Flather). Corecțiile aduse acestei ediții au fost publicate online.[3]

Lista celor cincizeci și nouă de icosaedre[modificare | modificare sursă]

Diagrama de stelare cu seturile de fețe numerotate
Schema celulelor cu notația lui Du Val

Înainte de Coxeter, doar Brückner și Wheeler înregistraseră seturi semnificative de stelări, deși câteva, cum ar fi marele icosaedru, erau cunoscute de mai mult timp. De la publicarea lui The 59..., Wenninger a publicat instrucțiuni despre realizarea unor modele; schema de numerotare folosită în cartea sa a devenit larg folosită, deși el a descris doar câteva stelări.

Note privind lista[modificare | modificare sursă]

Dacă nu se specifică altfel, indexarea este după Crennell:

Crennell

  • La indexarea numerotată adăugată ediției a treia de către Crennell, primele 32 de forme (indici 1–32) sunt forme cu simetrie de reflexie, iar ultimele 27 (indici 33–59) sunt forme chirale fiind enumerate doar formele pe dreapta. Lista folosește ordinea în care stelările sunt descrise în carte.

Celule

  • În notația lui Du Val, fiecare strat este identificat cu caractere aldine, dinspre interior spre exterior: a, b, c, ..., h, unde a este icosaedrul originar. Unele straturi au două tipuri de celule, de exemplu, e se subdivide în e1 și e2. Setul f1 se subdivide în continuare în forme pe dreapta și pe stânga, respectiv f1 și f1 (italic). În cazul în care o stelare are toate celulele prezente în interiorul unui strat exterior, stratul exterior este scris cu majuscule, iar cel interior este omis, de exemplu a + b + c + e1 se scrie Ce1.

Fețe

  • Toate stelările pot fi descrise printr-o diagramă de stelare. În diagrama prezentată aici culorile numerotate indică regiunile diagramei de stelare care trebuie să apară împreună ca o mulțime dacă se dorește să se mențină simetria icosaedrică completă. Diagrama are 13 astfel de mulțimi. Unele dintre acestea se subdivid în perechi chirale (nu sunt prezentate), permițând stelări cu simetrie de rotație, dar nu și de reflexie. În tabel, fețele care sunt văzute de dedesubt sunt indicate printr-un apostrof, de exemplu 3'.

Wenninger

  • Indecșii și numele numerotate au fost alocate arbitrar de către editorul lui Wenninger, în funcție de apariția lor în cartea sa „Modele poliedrice” și nu au nicio legătură cu niciun șir matematic. Doar câteva dintre modelele sale erau de icosaedre. La el numele sunt date sub formă scurtă, „... a icosaedrului”.

Wheeler

  • Wheeler și-a găsit figurile, sau „formele” icosaedrului, alegând segmente de dreaptă din diagrama de stelare. El a distins cu atenție acest lucru de procesul clasic de stelare al lui Kepler. Coxeter și colaboratorii săi au ignorat această distincție și s-au referit la toate drept stelări.

Brückner

  • Max Brückner a realizat și fotografiat modele ale multor poliedre, dintre care doar câteva erau icosaedre. Taf. este o abreviere a lui Tafel („tabel”) din germană.

Observații

Tabelul celor cincizeci și nouă de icosaedre[modificare | modificare sursă]

Unele imagini ilustrează icosaedrul imaginii în oglindă, cu celula f1 în loc de celula f1.

Crennell Celule Fețe Wenninger Wheeler Brückner Observații Diagrama feței În 3D
1 A 0 04
Icosaedru		 1 Icosaedrul Platonic
2 B 1 26
Icosaedru
triakis 		2 Taf. VIII,
Fig. 2 		Prima stelare a icosaedrului,
micul icosaedru triambic
3 C 2 23
Compus de cinci octaedre		 3 Taf. IX,
Fig. 6 		Compus de cinci octaedre regulat
4 D 3 4 0 4 Taf. IX,
Fig.17
5 E 5 6 7 0 0
6 F 8 9 10 27
A doua stelare		 19 A doua stelare a icosaedrului
7 G 11 12 41
Marele icosaedru		 11 Taf. XI,
Fig. 24 		Marele icosaedru
8 H 13 42
Stelarea finală		 12 Taf. XI,
Fig. 14 		Stelarea finală a icosaedrului sau Echidnaedru
9 e1 3' 5 37
A douăsprezecea stelare		 0 A douăsprezecea stelare a icosaedrului
10 f1 5' 6' 9 10 0 0
11 g1 10' 12 29
A patra stelare		 21 A patra stelare a icosaedrului
12 e1f1 3' 6' 9 10 0 0
13 e1f1g1 3' 6' 9 12 0 20
14 f1g1 5' 6' 9 12 0 0
15 e2 4' 6 7 0 0
16 f2 7' 8 0 22
17 g2 8' 9'11 0 0
18 e2f2 4' 6 8 0 0
19 e2f2g2 4' 6 9' 11 0 0
20 f2g2 7' 9' 11 30
A cincea stelare		 0 A cincea stelare a icosaedrului
21 De1 4 5 32
A șaptea stelare		 10 A șaptea stelare a icosaedrului
22 Ef1 7 9 10 25
Compus de zece tetraedre		 8 Taf. IX,
Fig. 3 		Compus de zece tetraedre regulat
23 Fg1 8 9 12 31
A șasea stelare		 17 Taf. X,
Fig. 3 		A șasea stelare a icosaedrului
24 De1f1 4 6' 9 10 0 0
25 De1f1g1 4 6' 9 12 0 0
26 Ef1g1 7 9 12 28
A treia stelare		 9 Taf. VIII,
Fig. 26 		Dodecaedru excavat
27 De2 3 6 7 0 5
28 Ef2 5 6 8 0 18 Taf.IX,
Fig. 20
29 Fg2 10 11 33
A opta stelare		 14 A opta stelare a icosaedrului
30 De2f2 3 6 8 34
A noua stelare		 13 Icosaedru triambic medial sau
Marele icosaedru triambic
31 De2f2g2 3 6 9' 11 0 0
32 Ef2g2 5 6 9' 11 0 0
33 f1 5' 6' 9 10 35
A zecea stelare		 0 A zecea stelare a icosaedrului
34 e1f1 3' 5 6' 9 10 36
A unsprezecea stelare		 0 A unsprezecea stelare a icosaedrului
35 De1f1 4 5 6' 9 10 0 0
36 f1g1 5' 6' 9 10' 12 0 0
37 e1f1g1 3' 5 6' 9 10' 12 39
A paisprezecea stelare		 0 A paisprezecea stelare a icosaedrului
38 De1f1g1 4 5 6' 9 10' 12 0 0
39 f1g2 5' 6' 8' 9' 10 11 0 0
40 e1f1g2 3' 5 6' 8' 9' 10 11 0 0
41 De1f1g2 4 5 6' 8' 9' 10 11 0 0
42 f1f2g2 5' 6' 7' 9' 10 11 0 0
43 e1f1f2g2 3' 5 6' 7' 9' 10 11 0 0
44 De1f1f2g2 4 5 6' 7' 9' 10 11 0 0
45 e2f1 4' 5' 6 7 9 10 40
A cincisprezecea stelare		 0 A cincisprezecea stelare a icosaedrului
46 De2f1 3 5' 6 7 9 10 0 0
47 Ef1 5 6 7 9 10 24
Compus de cinci tetraedre 		7
(6: pe stânga) 		Taf. IX,
Fig. 11 		Compus de cinci tetraedre (pe dreapta)
48 e2f1g1 4' 5' 6 7 9 10' 12 0 0
49 De2f1g1 3 5' 6 7 9 10' 12 0 0
50 Ef1g1 5 6 7 9 10' 12 0 0
51 e2f1f2 4' 5' 6 8 9 10 38
A treisprezecea stelare		 0 A treisprezecea stelare a icosaedrului
52 De2f1f2 3 5' 6 8 9 10 0 0
53 Ef1f2 5 6 8 9 10 0 15
(16: pe stânga)
54 e2f1f2g1 4' 5' 6 8 9 10' 12 0 0
55 De2f1f2g1 3 5' 6 8 9 10' 12 0 0
56 Ef1f2g1 5 6 8 9 10' 12 0 0
57 e2f1f2g2 4' 5' 6 9' 10 11 0 0
58 De2f1f2g2 3 5' 6 9' 10 11 0 0
59 Ef1f2g2 5 6 9' 10 11 0 0

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Coxeter, du Val ș.a., 1999, p. 15–16
  2. ^ en Inchbald, G., Some lost stellations of the icosahedron, steelpillow.com, 11 July 2006. Retrieved 14 September 2017)
  3. ^ en K. și D. Crennell, The Fifty-Nine Icosahedra, Fortran Friends. Retrieved 14 September 2017.

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

WorldCat English: Polygons and Polyhedra: Theory and History. Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. High res. scans.

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Portal icon Portal matematică
Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat Duale ale uniformelor Compuși regulați Stelare regulată Altele
Icosaedru
(convex) 		Micul icosaedru triambic Marele icosaedru triambic Compus
de cinci octaedre 		Compus
de cinci tetraedre 		Compus
de zece tetraedre 		Marele icosaedru Dodecaedru excavat Stelarea
finală
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.
Adus de la https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=The_Fifty-Nine_Icosahedra&oldid=16228435