Micul icosaedru triambic

Descriere
Micul icosaedru triambic

(model 3D)
Tip	dual al unui poliedru uniform
Fețe	20
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	32
χ	−8
Configurația vârfului	[h3], [H5]/2^[1]
Simbol Wythoff	3 \| 5/2 3^[2]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532)
Grup de rotație	I, [5,3]⁺, (532)
Volum	≈20,194 a³ (a = latura)
Poliedru dual	Micul icosidodecaedru ditrigonal
Proprietăți	stelat, neconvex

În geometrie, micul icosaedru triambic este un poliedru stelat compus din 20 de hexagoane cu fețe neregulate care se intersectează. Are 60 de laturi și 32 de vârfuri și caracteristica Euler de −8. Este un izoedru, ceea ce înseamnă că toate fețele sale sunt simetrice între ele. Branko Grünbaum a conjecturat că este singurul izoedru euclidian cu fețe convexe cu șase sau mai multe laturi,^[3] dar s-a găsit un contraexemplu: micul hexacontaedru hexagonal.

Mărimi asociate

Unghiuri

Fețele sunt hexagoane echilaterale, cu unghiuri alternante de $\arccos(-{\frac {1}{4}})\approx 104,477\,512\,185\,93^{\circ }$ și $\arccos({\frac {1}{4}})+60^{\circ }\approx 135,522\,487\,814\,07^{\circ }$ .^[4]

Unghiul diedru este de $\arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109,471\,220\,634\,49^{\circ }.$ ^[1]

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor micului icosaedru triambic cu lungimea laturii 1, centrat în origine, sunt toate permutările pare ale:^[5]

\left(\,\pm {\frac {3-\varphi }{5}},\,\pm {\frac {\varphi +2}{5}},\,0\,\right)

\left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm (2-\varphi ),\,0\,\right)

\left(\,\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}},\,\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}}\,\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}}\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei înscrise

Raza sferei înscrise pentru lungimea laturii $a$ este:^[5]

r={\frac {\sqrt {3}}{3}}\,a\approx 0,577350\,a.

Volum

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ :

V={\frac {175{\sqrt {2}}+75{\sqrt {10}}}{24}}\,a^{3}\approx 20,194092~a^{3}.

Forme înrudite

Suprafața exterioară a micului icosaedru triambic (înlăturând părțile fiecărei fețe hexagonale care sunt înconjurate de alte fețe, dar interpretând figurile plane deconectate rezultate ca fiind încă fețe) coincide cu una dintre stelările icosaedrului.^[6] Altfel, dacă după îndepărtarea părților înconjurate ale fiecărei fețe, fiecare triplet de triunghiuri coplanare rezultat este considerat a fi trei fețe separate, atunci rezultatul este o formă a icosaedrului triakis, formată prin adăugarea unei piramide triunghiulare la fiecare față a unui icosaedru.

Poliedru dual

Poliedrul dual al micului icosaedrului triambic este micul icosidodecaedru ditrigonal. Deoarece acesta este un poliedru uniform, micul icosaedrul triambic este un dual al unui poliedru uniform.

Note

^ ^a ^b en Small triambic icosahedron,, Klitzing polytopes, accesat 2024-04-09
^ en Medial triambic icosahedron, bulatov.org, accesat 2024-04-12
^ en Grünbaum, Branko (2008). „Can every face of a polyhedron have many sides?”. Geometry, games, graphs and education: the Joe Malkevitch Festschrift. Bedford, Massachusetts: Comap, Inc. pp. 9–26. hdl:1773/4593. MR 2512345.
^ en Eric W. Weisstein, Small triambic icosahedron la MathWorld.
^ ^a ^b en David McCooey [dmccooey.com/polyhedra/SmallTriambicIcosahedron.html Small Triambic Icosahedron], dmccooey.com, accesat 2024-04-12
^ en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999). The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))

Lectură suplimentară

en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. (p. 46, Model W₂₆, triakis icosahedron)
en Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8. (pp. 42–46, dual to uniform polyhedron W₇₀)
en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, pp. 96–104

Vezi și

Portal Matematică

[K-1] Small triambic icosahedron,, Klitzing polytopes, accesat 2024-04-09

[B-2] Medial triambic icosahedron, bulatov.org, accesat 2024-04-12

[3] Grünbaum, Branko (2008). „Can every face of a polyhedron have many sides?”. Geometry, games, graphs and education: the Joe Malkevitch Festschrift. Bedford, Massachusetts: Comap, Inc. pp. 9–26. hdl:1773/4593. MR 2512345.

[MW-4] Eric W. Weisstein, Small triambic icosahedron la MathWorld.

[DMC-5] David McCooey [dmccooey.com/polyhedra/SmallTriambicIcosahedron.html Small Triambic Icosahedron], dmccooey.com, accesat 2024-04-12

[6] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999). The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]