Sari la conținut

Spirală sinusoidală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Spirale sinusoidale (rn = –1n cos(), θ = π/2) în coordonate polare și echivalentele lor în coordonate carteziene:                      n = −2: Hiperbolă echilaterală                      n = −1: Dreaptă                      n = −1/2: Parabolă                      n = 1/2: Cardioidă                      n = 1: Cerc                      n = 2: Lemniscata lui Bernoulli

În geometria algebrică spiralele sinusoidale sunt o familie de curbe definite de ecuația în coordonate polare[1]

unde a este o constantă diferită de zero, iar n este un număr rațional altul decât 0. Cu o rotație în jurul originii, aceasta poate fi de asemenea scrise

Termenul de „spirală” este o denumire greșită, deoarece de fapt nu sunt spirale⁠(d), ci adesea au o formă asemănătoare unei rozete⁠(d). Multe curbe bine-cunoscute sunt spirale sinusoidale, de exemplu:

Această familie de curbe a fost studiată pentru prima oară de Colin Maclaurin.

Prin derivarea lui

și eliminarea lui a se obține ecuația diferențială în r și θ:

.

Atunci

care implică faptul că unghiul tangențial polar este

și deci unghiul tangențial este

.

(Semnul de aici este pozitiv dacă r și cos au același semn și negativ în caz contrar.)

Comparând versorul tangent

,

cu mărimea vectorilor de pe fiecare parte a ecuației de mai sus se obține

.

În particular, lungimea unei singure bucle când este:

Curbura este

.

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]

Inversa unei spirale sinusoidale în raport cu un cerc cu centrul în origine este o altă spirală sinusoidală a cărei valoare a lui n este negativul valorii curbei originale a lui n. De exemplu, inversa lemniscatei lui Bernoulli este o hiperbolă dreptunghiulară.

Isoptica⁠(d), podara și podara negativă ale unei spirale sinusoidale sunt spirale sinusoidale diferite.

Traiectoria unei particule asupra căreia acționează o forță centrală proporțională cu o putere a lui r este o spirală sinusoidală.

Când n este un număr întreg și punctele n sunt aranjate regulat pe un cerc cu raza a, atunci mulțimea punctelor aranjate astfel încât media geometrică a distanțelor de la punct la n formează o spirală sinusoidală. În acest caz, spirala sinusoidală este o lemniscată polinomială.

  1. ^ Dănuț Zahariea, Limbaje de programare structurata: Aplicații MATLAB, tuiasi.ro, 2017, p. 194, accesat 2023-05-20

Legături externe

[modificare | modificare sursă]