Spirală sinusoidală

În geometria algebrică spiralele sinusoidale sunt o familie de curbe definite de ecuația în coordonate polare^[1]

r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )

unde $a$ este o constantă diferită de zero, iar $n$ este un număr rațional altul decât 0. Cu o rotație în jurul originii, aceasta poate fi de asemenea scrise

r^{n}=a^{n}\sin(n\theta ).

Termenul de „spirală” este o denumire greșită, deoarece de fapt nu sunt spirale^⁠(d), ci adesea au o formă asemănătoare unei rozete^⁠(d). Multe curbe bine-cunoscute sunt spirale sinusoidale, de exemplu:

Hiperbola echilaterală ( $n = -2$ )
Dreapta ( $n = -1$ )
Parabola ( $n = -1/2$ )
Cubica Tschirnhausen ( $n = -1/3$ )
Sextica lui Cayley ( $n = 1/3$ )
Cardioida ( $n = 1/2$ )
Cercul ( $n = 1$ )
Lemniscata lui Bernoulli ( $n = 2$ )

Această familie de curbe a fost studiată pentru prima oară de Colin Maclaurin.

Ecuații[modificare | modificare sursă]

Prin derivarea lui

r^{n}=a^{n}\cos(n\theta )

și eliminarea lui $a$ se obține ecuația diferențială în $r$ și $θ$ :

{\frac {dr}{d\theta }}\cos n\theta +r\sin n\theta =0

.

Atunci

\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)\cos n\theta {\frac {ds}{d\theta }}=\left(-r\sin n\theta ,\ r\cos n\theta \right)=r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)

care implică faptul că unghiul tangențial polar este

\psi =n\theta \pm \pi /2

și deci unghiul tangențial este

\varphi =(n+1)\theta \pm \pi /2

.

(Semnul de aici este pozitiv dacă $r$ și $cos nθ$ au același semn și negativ în caz contrar.)

Comparând versorul tangent

\left({\frac {dr}{ds}},\ r{\frac {d\theta }{ds}}\right)

,

cu mărimea vectorilor de pe fiecare parte a ecuației de mai sus se obține

{\frac {ds}{d\theta }}=r\cos ^{-1}n\theta =a\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta

.

În particular, lungimea unei singure bucle când $n>0$ este:

a\int _{-{\tfrac {\pi }{2n}}}^{\tfrac {\pi }{2n}}\cos ^{-1+{\tfrac {1}{n}}}n\theta \ d\theta

Curbura este

{\frac {d\varphi }{ds}}=(n+1){\frac {d\theta }{ds}}={\frac {n+1}{a}}\cos ^{1-{\tfrac {1}{n}}}n\theta

.

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Inversa unei spirale sinusoidale în raport cu un cerc cu centrul în origine este o altă spirală sinusoidală a cărei valoare a lui $n$ este negativul valorii curbei originale a lui $n$ . De exemplu, inversa lemniscatei lui Bernoulli este o hiperbolă dreptunghiulară.

Isoptica^⁠(d), podara și podara negativă ale unei spirale sinusoidale sunt spirale sinusoidale diferite.

Traiectoria unei particule asupra căreia acționează o forță centrală proporțională cu o putere a lui $r$ este o spirală sinusoidală.

Când $n$ este un număr întreg și punctele $n$ sunt aranjate regulat pe un cerc cu raza $a$ , atunci mulțimea punctelor aranjate astfel încât media geometrică a distanțelor de la punct la $n$ formează o spirală sinusoidală. În acest caz, spirala sinusoidală este o lemniscată polinomială.