Unghi tangențial

În geometrie unghiul tangențial al unei curbe în planul cartezian, într-un anumit punct, este unghiul dintre tangenta în acel punct la curba dată și axa $Ox$ .^[1] (Unii autori definesc unghiul ca fiind abaterea față de direcția curbei într-un punct inițial, fix. Aceasta este echivalentă cu definiția dată aici prin adăugarea unei constante la unghi sau prin rotirea curbei.^[2])

Ecuații[modificare | modificare sursă]

Dacă o curbă este definită parametric prin $(x (t), y (t))$ , atunci unghiul tangențial $φ$ în $t$ este definit (până la un multiplu de $2π$ ) prin^[3]

{\frac {{\big (}x^{\,\prime }(t),\ y^{\,\prime }(t){\big )}}{{\big |}x^{\,\prime }(t),\ y^{\,\prime }(t){\big |}}}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).

Aici, simbolul „ $^{\,\prime }$ ” (prim) indică derivata în raport cu $t$ . Astfel, unghiul tangențial specifică direcția vectorului viteză $(x (t), y (t))$ , în timp ce viteza specifică mărimea acestuia. Vectorul

{\frac {{\big (}x^{\,\prime }(t),\ y^{\,\prime }(t){\big )}}{{\big |}x^{\,\prime }y^{\,\prime }(t){\big |}}}

este numit versor, deci o definiție echivalentă este aceea că unghiul tangențial la $t$ este unghiul $φ$ astfel încât $(cos φ, sin φ)$ este versorul tangent la $t$ .

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului^⁠(d) $s$ , astfel încât $| x'(s), y'(s) | = 1$ , atunci definiția se simplifică la

{\big (}x^{\,\prime }(s),\ y^{\,\prime }(s){\big )}=(\cos \varphi ,\ \sin \varphi ).

În acest caz, curbura $κ$ este dată de $φ'(s)$ , unde $κ$ se ia pozitiv dacă curba se îndoaie spre stânga și negativ dacă curba se îndoaie spre dreapta.^[1] Invers, unghiul tangențial într-un punct dat este egal cu integrala definită a curburii până la acel punct:^[1]^[4]

\varphi (s)=\int _{0}^{s}\kappa (s)ds+\varphi _{0}\,,

\varphi (t)=\int _{0}^{t}\kappa (t)s^{\,\prime }(t)dt+\varphi _{0}\,.

Dacă curba este dată de graficul funcției $y = f (x)$ , atunci se poate lua $(x, f (x))$ ca parametrizare, și se poate considera că $φ$ este între $- π / 2$ și $π / 2$ . Asta duce la expresia explicită

\varphi =\arctan f^{\,\prime }(x).

Unghi tangențial polar[modificare | modificare sursă]

În coordonate polare unghiul tangențial polar este definit ca unghiul dintre tangenta la curbă în punctul dat și raza de la origine la punct.^[5]^[6] Dacă prin $ψ$ este notat unghiul tangențial polar, atunci $ψ = φ - θ$ , unde $φ$ este ca mai sus și $θ$ este, ca de obicei, unghiul polar.

Dacă curba este definită în coordonate polare prin $r = f (θ)$ , atunci unghiul tangențial polar $ψ$ la $θ$ este definit (până la un multiplu de $2π$ ) prin

{\frac {{\big (}f^{\,\prime }(\theta ),\ f(\theta ){\big )}}{{\big |}f^{\,\prime }(\theta ),\ f(\theta ){\big |}}}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )

.

Dacă curba este parametrizată prin lungimea arcului $s$ drept $r = r (s)$ , $θ = θ (s)$ , astfel încât $| r'(s), rθ'(s) | = 1$ , atunci definiția devine

{\big (}r^{\,\prime }(s),\ r\theta ^{\,\prime }(s){\big )}=(\cos \psi ,\ \sin \psi )

.

Spirala logaritmică poate fi definită o curbă al cărei unghi polar tangențial este constant.^[5]^[6]

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c Eric W. Weisstein, Natural Equation la MathWorld.
^ en Whewell, W. (1849). „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application”. Cambridge Philosophical Transactions. 8: 659–671. Această lucrare folosește $φ$ pentru a nota unghiul dintre tangentă și tangenta în origine. Aceasta este lucrarea care introduce ecuația Whewell, o aplicație a unghiului tangențial.
^ en Eric W. Weisstein, Tangential Angle la MathWorld.
^ en Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (2004). Sampling planar curves using curvature-based shape analysis. Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN 978-0-9728482-4-4.
^ ^a ^b en Williamson, Benjamin (1899). „Angle between Tangent and Radius Vector”. An Elementary Treatise on the Differential Calculus (ed. 9th). p. 222.
^ ^a ^b en Logarithmic Spiral la PlanetMath

Lectură suplimentară[modificare | modificare sursă]

en „Notations”. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (în French).
en Yates, R. C. (1952). A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 123–126.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Geometria diferențială a curbelor

Portal Matematică

[mwne-1] Eric W. Weisstein, Natural Equation la MathWorld.

[2] Whewell, W. (1849). „Of the Intrinsic Equation of a Curve, and Its Application”. Cambridge Philosophical Transactions. 8: 659–671. Această lucrare folosește $φ$ pentru a nota unghiul dintre tangentă și tangenta în origine. Aceasta este lucrarea care introduce ecuația Whewell, o aplicație a unghiului tangențial.

[3] Eric W. Weisstein, Tangential Angle la MathWorld.

[Surazhsky2004-4] Surazhsky, Tatiana; Surazhsky, Vitaly (2004). Sampling planar curves using curvature-based shape analysis. Mathematical methods for curves and surfaces. Tromsø. CiteSeerX 10.1.1.125.2191 . ISBN 978-0-9728482-4-4.

[williamson-5] Williamson, Benjamin (1899). „Angle between Tangent and Radius Vector”. An Elementary Treatise on the Differential Calculus (ed. 9th). p. 222.

[Planet-6] Logarithmic Spiral la PlanetMath

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]