Serie de puteri

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o serie de puteri (de o singură variabilă) este o serie infinită de forma:

unde an reprezintă coeficienții celui de-al n-lea termen , c este o constantă, iar x variază in jurul lui c (din acest motiv se mai spune că seria este "centrată" în jurul lui c). Această serie provine din serie Taylor a unei funcții.

În multe situații c este nul, de exemplu în cazul seriei Maclaurin. În astfel de cazuri, seria de puteri are o formă mai simplă:

Astfel de serii sunt utilizate în analiza matematică, în combinatorică, dar și în electrotehnică (transformata Z). De asemenea, scrierea zecimală poate fi considerată o aplicație a seriilor de puteri cu coeficienți întregi și având ca argument x de valoare 1/10. În teoria numerelor, seriile de puteri se aplică la studiul numerelor p-adice.

Proprietățile seriilor de puteri[modificare | modificare sursă]

Seriile de puteri au o deosebită importanță în cercetările teoretice și în științele aplicate. Câteva din proprietățile lor vor fi prezentate mai jos.

Teoremă. Fie o serie de puteri convergentă pe intervalul . Pentru orice număr , astfel încât , seria este uniform convergentă pe intervalul .
Demonstrație.
Deoarece și , rezultă, conform teoremei lui Abel, că seria este absolut convergentă, deci pentru seria este absolut covergentă.
Dar și conform criteriului de convergență uniformă a seriilor de funcții rezultă că seria de puteri este uiform convergentă.
Această teoremă are două consecințe:
Consecința 1. Suma a unei serii de puteri este o funcție continuă pe intervalul de convergență.
Demonstrație.
Pe orice interval seria de puteri este uniform convergentă și toți termenii seriei sunt funcții continue, rezultă că suma serie este o funcție continuă pe .
Consecința 2. Suma a unei serii de puteri este uniform continuă pe orice interval compact conținut în intervalul de convergență.
Demonstrație.
Pe orice interval suma este continuă, deci fiind continuă pe un interval compact rezultă că este uniform continuă pe intervalul compact .
  • Derivarea seriilor de puteri în intervalul de convergență.
Teoremă. Fie o serie de puteri convergentă pe intervalul . Seria , formată cu derivatele termenilor seriei date, are același interval de convergență ca și seria dată.
Demonstrație.

Dacă notăm cu raza de convergență a serie , avem

Această teoremă are mai multe consecințe:

Consecința 1. Suma serie formată cu derivatele termenilor seriei de puteri este derivata sumei seriei de puteri, în intervalul de convergență. Dacă notăm
și ,

atunci

pentru orice .
Demonstrație.

Seria derivatelor având aceeași rază de convergență ca și seria inițială, rezultă că seria derivatelor este uniform convergentă în intervalul de convergență a seriei inițiale. Deci, derivata sumei este egală cu suma seriei derivatelor termenilor, .

Consecința 2. Suma serie formată cu derivatele termenilor unei serii de puteri este o funcție continuă și derivabilă pe intervalul de convergență.
Consecința 3. Dacă este o serie de puteri cu raza de convergență :
  1. seria formată cu derivatele de ordinul ale termenilor seriei are aceeași rază de convergență ;
  2. suma a seriei este indefinit derivabilă pe intervalul de convergență și derivata de ordinul , este egală cu suma seriei derivatelor de ordinul pentru orice .

Operații cu serii de puteri[modificare | modificare sursă]

Fie și două serii de puteri cu raze de convergență , respectiv .
  • Suma celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, , care are ca rază de convergență .
Într-adevăr, pentru orice , astfel încât , seriile numerice și sunt convergente, rezultă că și seria sumă este convergentă.
Dacă și sunt sumele celor două serii și este suma seriei , avem petru orice .
  • Diferența celor două serii de puteri este tot o serie de puteri, , care are ca rază de convergență .
Dacă este suma seriei , atunci
petru orice .
  • Produsul celor două serii de puteri este tot o serie de puteri,

care are ca rază de convergență .

Dacă este suma seriei produs, atunci
petru orice .
  • Câtul celor două serii de puteri cu sumele , , este o serie de puteri cu suma ,

cu coeficienți definiți de egalitatea .

Coeficienții se determină din sistemul infinit de ecuații liniare

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Marcel Roșculeț, Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984