Produs Kronecker

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică produsul Kronecker, uneori notat cu ⊗, este o operație pe două matrici de dimensiuni arbitrare rezultând o matrice de blocuri. Este o particularizare a produsului tensorial⁠(d) (care este notat cu același simbol) de la vectori la matrici, iar rezultatul este matricea aplicației liniare „produs tensorial” în raport cu o alegere standard a bazei. Produsul Kronecker trebuie să fie distins de produsul matricial obișnuit, care este o operație complet diferită. Produsul Kronecker mai este numit uneori „produs direct de matrici”.[1]

Definiție[modificare | modificare sursă]

Dacă A este o matrice m × n iar B o matrice p × q, atunci produsul Kronecker AB este matricea de blocuri pm × qn:

adică explicit:

Folosind și pentru a nota câtul și restul, și numerotând elementele matricei începând de la 0 se obține și La numerotarea uzuală, care începe de la 1, se obține și

Dacă A și B reprezintă transformări liniare V1W1, respectiv V2W2, atunci produsul tensorial al două aplicații este reprezentat de AB, care este același cu V1V2W1W2.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Similar:

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

Relațiile cu alte operații matriciale[modificare | modificare sursă]

  1. Biliniaritate și asociativitate:

    Produsul Kronecker este un caz particular al produsului tensorial, deci este bilinar și asociativ:

    unde A, B și C sunt matrici, 0 este matricea zero, iar k este un scalar.
  2. Necommutative: În general, AB și BA sunt matrici diferite. Totuși, AB și BA sunt permutări echivalente, adică există matricile de permutare P și Q astfel încât[2]
    Dacă A și B sunt matrici pătrate, atunci AB și BA sunt permutări pare similare, adică se poate lua P = QT. Matricile P și Q sunt matrici amestecate perfect.[3] Matricea amestecată perfect Sp,q poate fi construită luând felii din matricea unitate Ir, unde .
    Pentru indicarea submatricilor este folosită notația cu două puncte din MATLAB, iar Ir este matricea unitate r × r. Dacă și , atunci
  3. Proprietatea produsului mixt: Dacă A, B, C și D sunt matrici cu dimensiuni astfel încât se pot forma produsele matriciale AC și BD, atunci
    Aceasta se numește proprietatea produsului mixt, deoarece combină produsul matricial obișnuit cu produsul Kronecker. Ca o consecință imediată,
    În particular, folosind transpunerea de mai jos, înseamnă că dacă
    și Q și U sunt matrici ortogonale⁠(d) (sau matrici unitate), atunci A este și ea ortogonală (respectiv unitate). Produsul Kronecker mixt matrice-vector poate fi scris astfel:
    unde este inversul operatorului de vectorizare (format prin remodelarea vectorului ).
  4. Produsul Hadamard: Proprietatea produsului mixt funcționează și pentru produsul pe elemente. Dacă A și C sunt matrici de aceeași dimensiune, iar B și D sunt și ele matrici de aceeași dimensiune, atunci
  5. Inversul produsului Kronecker: Rezultă că AB este inversabil dacă și numai dacă atât A, cât și B sunt inversabile, caz în care inversul este dat de
    Proprietatea produsului inversabil este valabilă și pentru pseudoinversa Moore–Penrose⁠(d),[4] adică
  6. Transpusa: Transpusa și adjuncta sunt distributive față de produsul Kronecker:
    and
  7. Determinantul: Fie A o matrice n × n și B o matrice m × m. Atunci
    Exponentul lui | A | este ordinul lui B, iar exponentul lui | B | este ordinul lui A.
  8. Suma și ridicarea la putere Kronecker: Dacă A este n × n, B este m × m, iar Ik este matricea unitate k × k, atunci se poate defini ceea ce uneori este numită suma Kronecker, ⊕, astfel:
    Aceasta este diferită de adunarea obișnuită a două matrici. Această operație este legată de produsul tensorial din algebrele Lie⁠(d). Formula pentru ridicarea la putere a matricilor, utilă în unele calcule numerice, este:[5]
    Sumele Kronecker apar în mod natural în fizică când se iau în considerare ansambluri de sisteme care nu interacționează. Fie Hk al k-lea hamiltonian al unui astfel de sistem. Atunci hamiltonianul total al ansamblului este

Proprietăți abstracte[modificare | modificare sursă]

  1. Spectrul⁠(d):

    Fie matricile pătrate A de dimensiune n și B de dimensiune m. Fie λ1, ... , λn valorile proprii ale lui A și μ1, ... , μm cele ale lui B (corespunzător multiplicității). Atunci valorile proprii ale lui AB sunt

    Rezultă că urma și determinantul unui produs Kronecker sunt date de

  2. Valori singulare:

    Dacă A și B sunt matrici dreptunghiulare, atunci se pot lua în considerare valorile singulare⁠(d). Se presupune că A are rA valori singulare diferite de zero, și anume

    Similar, se notează valorile singulare diferite de zero ale B cu

    Atunci produsul Kronecker AB are rArB valori singulare diferite de zero, și anume

    Deoarece rangul unei matrice este egal cu numărul de valori singulare diferite de zero, rezultă că

  3. Relația cu produsul tensorial abstract:

    Produsul Kronecker al matricilor corespunde produsului tensorial abstract al aplicațiilor liniare. Mai exact, dacă spațiile vectoriale V, W, X și Y au bazele {v1 , ... , vm}, {w1, ... , wn}, {x1, ... , xd}, și respectiv {y1, ... , ye}, și dacă matricile A și B reprezintă transformările liniare S : VX și respectiv T : WY, în bazele corespunzătoare, atunci matricea AB reprezintă produsul tensorial al celor două aplicații, ST : VWXY cu privire la baza {v1w1, v1w2, ... , v2w1, ... , vmwn} din VW și baza definită în mod similar pentru XY cu proprietatea că AB(viwj) = (Av i) ⊗ (Bwj), unde i și j sunt numere întregi în intervalul corespunzător.[6]

    Când V și W sunt algebre Lie, iar S : VV și T : WW sunt homomorfisme de algebre Lie, suma Kronecker a lui A și B reprezintă homomorfismele de algebră Lie induse VWVW.
  4. Relația cu produsul matricial de grafuri: Produsul Kronecker al matricilor de adiacență a două grafuri este matricea de adiacență a grafului produsului tensorial. Suma Kronecker a matricilor de adiacență a două grafuri este matricea de adiacență a grafului produsului cartezian.[7]

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Weisstein, Eric W. „Kronecker product”. mathworld.wolfram.com. Accesat în . 
  2. ^ en Henderson, H.V.; Searle, S.R. (). „The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: A review” (PDF). Linear and Multilinear Algebra. 9 (4): 271–288. doi:10.1080/03081088108817379. hdl:1813/32747Accesibil gratuit. 
  3. ^ en Van Loan, Charles F. (). „The ubiquitous Kronecker product”. Journal of Computational and Applied Mathematics. 123 (1–2): 85–100. Bibcode:2000JCoAM.123...85L. doi:10.1016/s0377-0427(00)00393-9Accesibil gratuit. 
  4. ^ en Langville, Amy N.; Stewart, William J. (). „The Kronecker product and stochastic automata networks”. Journal of Computational and Applied Mathematics. 167 (2): 429–447. Bibcode:2004JCoAM.167..429L. doi:10.1016/j.cam.2003.10.010Accesibil gratuit. 
  5. ^ en Brewer, J.W. (). „A note on Kronecker matrix products and matrix equation systems”. SIAM Journal on Applied Mathematics. 17 (3): 603–606. doi:10.1137/0117057. 
  6. ^ en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (). Abstract Algebra (ed. 2). New York: John Wiley and Sons. pp. 401–402. ISBN 978-0-471-36857-1. 
  7. ^ en See Knuth, D.E. „Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms” (ed. zeroth printing, revision 2). answer to Exercise 96. Arhivat din original la . Accesat în ,  to appear as part of Knuth, D.E. The Art of Computer Programming. 4A. 

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]