Marea teoremă a lui Fermat

Marea teoremă a lui Fermat este o celebră teoremă de teoria numerelor. Ea a fost enunțată de Pierre de Fermat în anul 1637, iar demonstrația completă a fost găsită de-abia 357 de ani mai târziu de către matematicianul englez Andrew Wiles.

Enunțul este simplu:

Ecuația $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere întregi nenule. Cazurile n = 1 și n = 2 erau cunoscute de a avea infinit de multe soluții încă din antichitate.

Cazuri particulare

Pentru n = 2, ecuația $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ are soluții. Există triplete de numere naturale (x,y,z) cu care se pot forma laturile unui triunghi dreptunghic; de aici, conform teoremei lui Pitagora, avem $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. De exemplu (3,4,5) sau (5,12,13). Există chiar o infinitate de astfel de triplete, forma lor generală fiind $x=2uv,\ y=u^{2}-v^{2},\ z=u^{2}+v^{2}$, unde u și v sunt numere naturale oarecare.

Pentru n > 2, doar cazul n = 4 admite o demonstrație elementară, schițată de Fermat însuși. Chiar și pentru cazul n = 3 demonstrația depășește nivelul manualelor de liceu; primul care s-a ocupat de cazul n = 3 a fost matematicianul Leonhard Euler, în 1753. În 1825, francezii Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet și Adrien-Marie Legendre tranșează cazul n = 5, demonstrația având ca punct de plecare o idee mai veche a lui Sophie Germain. După câțiva ani, este finalizată demonstrația pentru n = 7,de către francezul Gabriel Lamé.

La mijlocul secolului XIX, Academia Franceză instituie un premiu de 3000 franci (o sumă enormă atunci) pentru o demonstrație completă a teoremei.

Demonstrații pentru numere prime mai mici ca 100 au fost date aproximativ în aceeași perioadă, de către matematicianul german Ernst Kummer.

În 1908, magnatul german Paul Wolfskehl alocă uriașa sumă de 100 000 de mărci celui ce va demonstra teorema ('oferta' fiind valabilă până în 2007).

După apariția calculatoarelor electronice, au fost abordate cazuri particulare pentru valori tot mai mari ale lui n; prin anii 1980, erau elucidate toate cazurile în care n < 4 000 000.

În ultimii ani de dinaintea găsirii demonstrației complete pentru orice n > 2, matematicienii erau convinși că prin metode elementare nu se mai poate aduce nimic nou.

Demonstrarea teoremei

În anul 1983, matematicianul german Gerd Faltings a demonstrat că există cel mult o mulțime finită de contra-exemple la marea teoremă a lui Fermat.

În septembrie 1994, matematicianul englez Andrew Wiles a dat demonstrația completă a teoremei, după ce, în 1993, propusese o altă demonstrație, care se dovedise a fi greșită.

Vezi și

• Mica teoremă a lui Fermat
• Teorema lui Fermat (analiză matematică)
• Principiul lui Fermat

Bibliografie

• Marea teoremă a lui Fermat, de Simon Singh, Ed.Humanitas, București, 1998
• Matematica? Un spectacol!, de Gheorghe Păun, Ed.Științifică și Enciclopedică,București ,1988
• Aczel, Amir (30 septembrie 1996). Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-56858-077-7. 
• Dickson LE (1919). History of the Theory of Numbers. Volume II. Diophantine Analysis. New York: Chelsea Publishing. pp. 545–550, 615–621, 688–691, 731–776. 
• Edwards, HM (1997). Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50. New York: Springer-Verlag. 
• Friberg, Joran (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-270-452-8. 
• Kleiner I (2000). „From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem” (PDF). Elemente der Mathematik. 55: 19–37. doi:10.1007/PL00000079. Arhivat din original (PDF) la 13 iulie 2010. 
• Mordell LJ (1921). Three Lectures on Fermat's Last Theorem. Cambridge: Cambridge University Press. 
• Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduction to Modern Number Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3. 
• Ribenboim P (2000). Fermat's Last Theorem for Amateurs. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4. 
• Singh S (octombrie 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. 
• Stark H (1978). An Introduction to Number Theory. MIT Press. ISBN 0-262-69060-8. 

Legături externe

• en Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS 42 (7), pp. 743–746. (Demonstrația Marii teoreme a lui Fermat)
• Marea teoremă a lui Fermat