Teorema lui Fermat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Teorema lui Fermat este o teoremă de analiză matematică, numită astfel după Pierre de Fermat. Ea dă o metodă de a găsi punctele de maxim și minim ale unei funcții derivabile. Valoarea derivatei în aceste puncte este 0. Astfel, problema determinării punctelor de maxim și minim ale unei funcții se reduce la obținerea soluțiilor unei ecuații.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie o funcție și se presupune că este un punct de maxim (sau minim) local al funcției . Dacă este derivabilă în atunci .

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Presupunem că este un maxim (o considerație similară se poate face în cazul că este un minim). Atunci astfel ca și avem cu . Prin urmare pentru orice avem

Deoarece limita acestui raport când tinde spre 0 există și este egală cu se trage concluzia că . Pe de altă parte, pentru avem

unde, de asemenea, limita când tinde spre 0 există și este egală cu se trage concluzia că .

Prin urmare rezultă că .

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]