Proprietatea lui Darboux

În analiza matematică, o funcție definită pe un interval al mulțimii numerelor reale și cu valori în aceasta are proprietatea lui Darboux^[1] atunci când nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare. O astfel de funcție se mai numește și funcție Darboux. Denumirea reprezintă un omagiu adus matematicianului francez Jean Gaston Darboux, cel care a demonstrat că există funcții cu proprietatea lui Darboux care sunt discontinue^[2]. Funcțiile Darboux pot fi chiar discontinue în orice punct^[3].

Definiție, rezultate fundamentale

O funcție $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ , unde $I\subseteq \mathbb {R}$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice numere $a,\,b\in I$ , cu $a\leq b$ , și $y\in \left[\min \left\{f(a),f(b)\right\},\max \left\{f(a),f(b)\right\}\right]$ există (cel puțin) un număr $x\in [a,b]$ astfel încât $f(x)=y$ .

Orice funcție continuă, definită pe un interval, are proprietatea lui Darboux^[4]. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema valorii intermediare.

O funcție $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ , unde $I\subseteq \mathbb {R}$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice subinterval $J\subseteq I$ într-un interval, $f(J)$ ^[5].

O funcție are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice submulțime conexă a intervalului său de definiție într-o mulțime conexă^[6].

O funcție $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ , unde $I\subseteq \mathbb {R}$ este un interval nevid, care este bijectivă și are proprietatea lui Darboux este strict monotonă^[7].

Dacă o funcție Darboux este discontinuă, atunci discontinuitățile sale sunt de speța a doua. Un exemplu de funcție Darboux discontinuă este dat de $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ , cu formula $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\sin {\frac {1}{x}},&x\neq 0,\\0,&x=0,\end{array}}\right.$ unde $x\in \mathbb {R}$ .

Derivata $f^{\prime }$ a unei funcții derivabile $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ , unde $I\subseteq \mathbb {R}$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux^[8]. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema lui Darboux.

Dacă o funcție admite primitive, atunci ea este funcție Darboux.

Note

^ Nicolescu et al, p. 225
^ Darboux
^ Bruckner, Ceder
^ Nicolescu et al, p. 224
^ Nicolescu et al, p. 226
^ Nicolescu et al, p. 227
^ Nicolescu et al, ibid.
^ Nicolescu et al, p. 291

Bibliografie

Darboux, G. (1875), „Memoire sur les fonctions discontinues”, Ann. Sci. Scuola Norm. Sup., 4: 161–248
Bruckner, A. M.; Ceder, J. C. (1965), „Darboux continuity”, Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 67: 93–117
Nicolescu, M.; Dinculeanu, N.; Marcus, S. (1971), Analiză matematică, Volumul I (ed. a IV-a), București: Editura Didactică și Pedagogică
„Darboux property”, Encyclopedia of Mathematics

[1] Nicolescu et al, p. 225

[2] Darboux

[3] Bruckner, Ceder

[4] Nicolescu et al, p. 224

[5] Nicolescu et al, p. 226

[6] Nicolescu et al, p. 227

[7] Nicolescu et al, ibid.

[8] Nicolescu et al, p. 291

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]