Ecuație de gradul al doilea

În matematică, ecuația algebrică de gradul al doilea este o ecuație polinomială de gradul doi.

Gradul ecuației este dat de gradul polinomului, iar soluțiile ecuației algebrice sunt numite rădăcini. Ecuația de gradul doi se numește și ecuație pătratică. Un tip de ecuație asemănător celei de gradul doi este cea de gradul patru cu termenii de grad impar lipsă, denumită ecuație bipătratică.

Când apare mai mult de o variabilă ecuația se obține prin egalarea cu zero a unei forme pătratice.

Forma generală

Forma generală a ecuației de gradul doi este:

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$

unde: x este variabila, iar a, b, și c constantele (a ≠ 0). Dacă constanta a = 0, atunci ecuația devine o ecuație liniară. Constantele a, b, și c sunt denumite astfel:

• a, coeficientul termenului pătratic
• b, coeficient termenului liniar
• c, termen constant sau termen liber

Forma canonică

Împărțind ecuația inițială prin a, rezultă: $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,\!$

În această ecuație echivalentă, dacă se notează: ${\frac {b}{a}}=p\,\!$ și ${\frac {c}{a}}=q,\,\!$ se obține forma canonică sau forma normală a ecuației de gradul doi:

$x^{2}+px+q=0\,\!$ (ecuația este completă sub forma canonică)

Cazuri particulare

• ecuație incompletă pur pătratică : $x^{2}+q=0\,\!$
• ecuație incompletă fără termen liber : $x^{2}+px=0\,\!$
• ecuație incompletă pur pătratică fără termen liber :^[3] $x^{2}=0\,\!$

Soluțiile ecuației

Rădăcinile ecuației algebrice de gradul doi sunt exprimate prin formula:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Această formulă reiese prin aducerea expresiei algebrice de gradul doi la forma unui pătrat perfect al unui binom. Formula rezolvării ecuației de gradul doi a fost dată, în forma actuală, de Michael Stifel în 1544 și își are originea în lucrările lui Brahmagupta și Sridhara. ^[4]

Dacă expresia algebrică de sub radical este negativă atunci soluțiile sunt numere complexe. Dacă expresia este zero atunci există o soluție reală dublă.

Relațiile lui Viète

• $S=x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
• $P=x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Ecuația de gradul al doilea se poate rescrie ca x²-Sx+P=0. Acest fapt provine din împărțirea ecuației inițiale (ax²+bx+c=0) la a.

Alte relații între rădăcini

• ${\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}={\frac {x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}}+{\frac {x_{1}}{x_{1}\cdot x_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}}={\frac {S}{P}}$
• $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2\cdot x_{1}\cdot x_{2}=S^{2}-2P$
• ${\frac {x_{1}}{x_{2}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {x_{1}^{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}}={\frac {S^{2}-2P}{P}}$
• ${\frac {1}{x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{x_{2}^{2}}}={\frac {x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}\cdot x_{2}^{2}}}+{\frac {x_{1}^{2}}{x_{1}^{2}\cdot x_{2}^{2}}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{(x_{1}\cdot x_{2})^{2}}}={\frac {S^{2}-2P}{P^{2}}}$
• ${\bigg (}{\frac {1}{x_{1}^{2}}}-{\frac {1}{x_{2}^{2}}}{\bigg )}^{2}={\bigg (}{\frac {1}{x_{1}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {1}{x_{2}}}{\bigg )}^{2}-2\cdot {\frac {1}{x_{1}}}\cdot {\frac {1}{x_{2}}}={\frac {1}{x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{x_{2}^{2}}}-{\frac {2}{x_{1}\cdot x_{2}}}={\frac {S^{2}-2P}{P^{2}}}-{\frac {2}{P}}={\frac {S^{2}-4P}{P^{2}}}$
• $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})\cdot (x_{1}^{2}-x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}^{2})=S(S^{2}-3P)=S^{3}-3SP$

unde $S={\frac {-b}{a}}$ iar $P={\frac {c}{a}}$

Note

1. ^Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, București, 1980, pag. 102. (traducere după lucrarea în limba germană Kleine Enzyklopädie der Mathematik)
2. ^Vasile Bobancu, Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974, pag. 92.

Legături externe

• Online Calculator - Ecuație algebrică de gradul al doilea

Vezi și

• Funcție algebrică de gradul doi
• Formă pătratică