Ecuație de gradul al doilea

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, ecuația algebrică de gradul al doilea este o ecuație polinomială de gradul doi.

Gradul ecuației este dat de gradul polinomului, iar soluțiile ecuației algebrice sunt numite rădăcini. Ecuația de gradul doi se numește și ecuație pătratică. [1] [2] [3] Un tip de ecuație asemănător celei de gradul doi este cea de gradul patru cu termenii de grad impar lipsă, denumită ecuație bipătratică.

Forma generală[modificare | modificare sursă]

Forma generală a ecuației de gradul doi este:

ax^2+bx+c=0 \,\!

unde: x este variabila, iar a, b, și c constantele (a ≠ 0). Dacă constanta a = 0, atunci ecuația devine o ecuație liniară. Constantele a, b, și c sunt denumite astfel:

  • a, coeficientul termenului pătratic
  • b, coeficient termenului liniar
  • c, termen constant sau termen liber

Forma canonică[modificare | modificare sursă]

Împărțind ecuația inițială prin a, rezultă: x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0 \,\!

În această ecuație echivalentă, dacă se notează: \frac{b}{a}=p \,\! și \frac{c}{a}=q, \,\! se obține forma canonică sau forma normală a ecuației de gradul doi:

x^2+px+q=0 \,\! (ecuația este completă sub forma canonică)

Cazuri particulare[modificare | modificare sursă]

  • ecuație incompletă pur pătratică : x^2+q=0 \,\!
  • ecuație incompletă fără termen liber : x^2+px=0 \,\!
  • ecuație incompletă pur pătratică fără termen liber :[4] x^2=0 \,\!

Rezolvarea ecuației de gradul doi[modificare | modificare sursă]

Rădăcinile ecuației algebrice de gradul doi se obțin cu ajutorul formulei:

 x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Formula rezolvării ecuației de gradul doi a fost dată, în forma actuală, de Michael Stifel în 1544 și își are originea în lucrările lui Brahmagupta și Sridhara. [5]

Relațiile lui Viète[modificare | modificare sursă]

  •  S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}
  •   P= x_1  \cdot x_2=\frac{c}{a}

Alte relații între rădăcini[modificare | modificare sursă]

  •  \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1 \cdot x_2}+ \frac{x_1}{x_1 \cdot x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\frac{S}{P}
  •  x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2\cdot x_1 \cdot x_2=S^2-2P
  •  \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2}{x_1\cdot x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 \cdot x_2}=\frac{S^2-2P}{P}
  •  	\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2}{x_1^2 \cdot x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_1^2 \cdot x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1\cdot x_2)^2}=\frac{S^2-2P}{P^2}
  •   \bigg(\frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_2^2}\bigg)^2=\bigg(\frac{1}{x_1}\bigg)^2+\bigg(\frac{1}{x_2}\bigg)^2-2 \cdot \frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-\frac{2}{x_1 \cdot x_2}=\frac{S^2-2P}{P^2}-\frac{2}{P}=\frac{S^2-4P}{P^2}
  •  x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\cdot (x_1^2-x_1\cdot x_2 +x_2^2)=S(S^2-3P)=S^3-3SP

unde  S=\frac{-b}{a} iar P=\frac{c}{a}

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, București, 1980, pag. 102. (traducere după lucrarea în limba germană Kleine Enzyklopädie der Mathematik)
  2. ^Vasile Bobancu, Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974, pag. 92.
  1. ^ [1]
  2. ^ [2]
  3. ^ [3]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

Vezi și[modificare | modificare sursă]