Funcție algebrică de gradul al cincilea

Graficul unui polinom de gradul 5, cu 3 rădăcini reale și 4 puncte critice

În algebră, o funcție de gradul al cincilea este o funcție algebrică de forma

$g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f$

unde a nu este zero, definită de un polinom de gradul cinci. Coeficienții a, b, c, d, e, f pot fi numere raționale, reale, complexe, sau din orice alt domeniu al matematicii.

Deoarece au un grad impar, atunci când sunt reprezentate grafic funcțiile de gradul al cincilea normale par similare cu funcțiile de gradul al treilea normale, cu excepția faptului că pot avea până la două maxime și minime locale. Derivata unei funcții de gradul cinci este o funcție algebrică de gradul al patrulea.

O ecuație de gradul al cincilea este o ecuație care egalează un polinom de gradul cinci cu zero:

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

unde a ≠ 0.

Rezolvarea ecuațiilor de gradul al cincilea prin radicali a fost o problemă majoră în algebră. începând cu secolul al XVI-lea, când s-au rezolvat ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea, până în prima jumătate a secolului al XIX-lea, când imposibilitatea a unei astfel de soluții generale a fost demonstrată prin teorema Abel–Ruffini.

Rezolvarea ecuației de gradul al cincilea

Rezolvarea ecuațiilor de gradul întâi, al doilea, al treilea și al patrulea prin factorizare cu radicali se pot face întotdeauna, indiferent dacă rădăcinile sunt raționale sau iraționale, reale sau complexe, există formule care dau soluțiile. Însă nu există expresii algebrice cu radicali generale pentru soluțiile ecuațiilor de gradul al cincilea. Această afirmație este cunoscută sub numele de teorema Abel-Ruffini, afirmată pentru prima dată în 1799 și demonstrată complet în 1824. Această afirmație este valabilă și pentru ecuațiile de grade superioare. Un exemplu de ecuație de gradul al cincilea ale cărei rădăcini nu pot fi exprimate prin radicali este $x^{5}-x+1=0.$

Unele ecuații de gradul al cincilea pot fi rezolvate prin radicali. Totuși, soluția este în general prea laborioasă pentru a fi utilizată în practică. De obicei se calculează aproximări prin metode numerice, folosind algoritmi specializați în aproximarea rădăcinilor polinoamelor.

Aplicații la mecanica cerească

Calculul poziției punctelor Lagrange ale unei orbite astronomice în care masele ambelor obiecte nu sunt neglijabile implică rezolvarea unei ecuații de gradul al cincilea.

Mai exact, pozițiile L₂ și L₁ sunt soluțiile următoarelor ecuații, unde forțele gravitaționale ale două mase asupra o al treia (de exemplu, Soarele și Pământul asupra sateliților Gaia la L₂ și SOHO la L₁) furnizează forța centripetă a satelitului necesară pentru a fi pe o orbită sincronă cu Pământul în jurul Soarelui:

${\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)$

unde semnul ± corespunde la L₂, respectiv L₁; G este constanta gravitațională, ω este viteza unghiulară, r este distanța satelitului față de Pământ, R este distanța Soarelui față de Pământ (adică semiaxa mare a orbitei Pământului), iar m, M_E și M_S sunt masele satelitului, a Pământului, respectiv a Soarelui.

Pornind de la a treia lege a lui Kepler $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$ și rearanjând termenii se obține ecuația de gradul al cincilea

$ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0$

cu $a=\pm (M_{S}+M_{E})$ , $b=+(M_{S}+M_{E})3R$ , $c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2}$ , $d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}$ (deci d = 0 pentru L₂), $e=\pm M_{E}2R^{4}$ , $f=\mp M_{E}R^{5}$ .

Rezolvând aceste două ecuații de gradul al cincilea se obține $r=1,501\times 10^{9}m$ pentru L₂ și $r=1,491\times 10^{9}m$pentru L₁. Punctele Lagrange L₂ și L₁ pe orbita Pământului sunt practic la 1,5 milioane de km de Pământ.

Rezolvarea cu radicali Bring

În jurul anului 1835, Jerrard a demonstrat că chinticurile pot fi rezolvate folosind radicali Bring (ultraradicali). Aceștia sunt funcția implicită definită de rădăcina reală unică a ecuației

$f(x)^{5}+f(x)-a=0$

pentru a real.

În acest scop, prin transformarea Tschirnhaus, care poate fi calculată dintr-o ecuație de gradul al patrulea, ecuația generală

$x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

este adusă la forma canonică Bring–Jerrard

$x^{5}-x+t=0$

Rădăcinile acestei ecuații nu pot fi exprimate prin radicali. În 1858 Charles Hermite a publicat prima soluție cunoscută a acestei ecuații obținută cu funcții eliptice. Cam în același timp Leopold Kronecker și Francesco Brioschi au găsit soluții echivalente.

Bibliografie

• fr Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, 2:5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• en Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN: 0-486-49528-0.
• fr Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 46:1:1150–1152 1858.
• en Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics x⁵ + ax + b, American Mathematical Monthly, 101:986–992 (1994).
• en Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN: 0-412-34550-1. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
• en Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. ISBN: 0-8218-3817-2. Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree la Wayback Machine (archived 31 martie 2010)) gives a description of the solution of solvable quintics x⁵ + cx + d.
• en Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
• en Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
• en Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004, ISBN: 3-540-43826-2, available at Arhivat în 6 ianuarie 2005, la Wayback Machine.
• en Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli 

Legături externe

• en Solving Solvable Quintics Arhivat în 7 martie 2012, la Wayback Machine. – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
• en A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.