Dimensiune Hausdorff

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul  :

  • Pentru
Pentru , fie numărul natural astfel ales încât .
Cu acoperirea specială
  pentru pentru .
Urmează
.


  • Pentru
Deoarece , avem:
.
Cum însă intervalul acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:
Rezultă:
.
Deci:
.
  • Pentru :
Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:
.
Așadar:
.

Cazuri concrete[modificare | modificare sursă]

  • Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
  • Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   .
  • Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   .


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
  • Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]