Dimensiune Hausdorff

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție[modificare | modificare sursă]

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log23, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

Exemplu[modificare | modificare sursă]

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul  :

  • Pentru
Pentru , fie numărul natural astfel ales încât .
Cu acoperirea specială
  pentru pentru .
Urmează
.


  • Pentru
Deoarece , avem:
.
Cum însă intervalul acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:
Rezultă:
.
Deci:
.
  • Pentru :
Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:
.
Așadar:
.

Cazuri concrete[modificare | modificare sursă]

  • Cercul are dimensiune Hausdorff 1.
  • Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   .
  • Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   .


Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
  • Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]