Cuadrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare
Un exemplu de cuadrică, un paraboloid hiperbolic

În matematică, cuadricele sunt suprafețe algebrice de gradul al doilea, adică suprafețe ale spațiului afin euclidian tridimensional, a căror ecuație se obține prin anularea unui polinom de gradul al doilea în trei variabile.[1]

Prin generalizare, se poate vorbi de suprafețe n-dimensionale în spațiul cu n + 1 dimensiuni generate de locul geometric al soluțiilor unui polinom de gradul doi. În coordonate {x1, x2, ..., xn+1}, cuadrica generată este definită de o ecuație algebrică de forma:[2]


\sum_{i,j=1}^{n+1} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{n+1} P_i  x_i + R = 0

care poate fi scrisă compact în notație matriceală:


x Q x^T + P x^T + R = 0\,

unde x = {x1, x2, ..., xn+1} este o matrice vector linie, xT este transpusa lui x (un vector coloană), Q este o matrice (n + 1)×(n + 1), P este un vector linie (n + 1)-dimensional, iar R este o constantă scalară. Valorile din Q, P și R sunt de obicei numere reale sau complexe, dar de fapt o cuadrică poate fi definită pe orice inel. În general, locurile geometrice ale soluțiilor polinoamelor sunt varietăți algebrice și fac obiectul geometriei algebrice.

Planul și spațiul euclidian[modificare | modificare sursă]

În planul euclidian cuadricele au o singură dimensiune (n = 1), adică sunt linii, curbe. Aceste cuadrice sunt identice cu secțiunile conice și sunt cunoscute sub numele de conice.

Elipsă (e=1/2), parabolă (e=1) și hiperbolă (e=2) cu același focar F și directoare.

În spațiul euclidian cuadricele au două dimensiuni (n = 2), și formează suprafețe cuadice. Printr-o schimbare de variabilă potrivită (transformare izometrică) și alegerea direcțiilor axelor orice cuadrică din spațiul euclidian poate fi adusă la forma canonică.[3] În spațiul euclidian tridimensional există 16 asemenea forme. Dintre acestea, 11 sunt degenerate. Formele degenerate conțin planuri, linii, puncte sau chiar nimic din acestea.[4]

Cuadrice nedegenerate
Elipsoid[5] {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Ellipsoid.jpg
    Sferoid (caz particular al elipsoidului) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,
        Sferă (caz particular al sferoidului) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,
Paraboloid eliptic[6] {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
    Paraboloid de rotație (caz particular al paraboloidului eliptic) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0  \,
Paraboloid hiperbolic[7] {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0  \, Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Hiperboloid cu o pânză[5] {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \, Quadric Hyperboloid 1.jpg
Hiperboloid cu două pânze[6] {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \, Quadric Hyperboloid 2.jpg
Cuadrice degenerate
Con[7] {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \, Quadric Cone.jpg
    Con de rotație (caz particular al conului) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,
Cilindru eliptic[8] {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \, Quadric Elliptic Cylinder.jpg
    Cilindru de rotație (caz particular al cilindrului eliptic) {x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1  \,
Cilindru hiperbolic[8] {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \, Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Cilindru parabolic[9] x^2 + 2ay = 0 \, Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Brăescu, p. 50
  2. ^ en Quadrics în Geometry Formulas and Facts de Silvio Levy, extras din cea de a 30-a ediție a CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (CRC Press).
  3. ^ Cap 9 (Cuadrice), p. 187, unitbv.ro, accesat 2011-02-04
  4. ^ en Stewart Venit and Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
  5. ^ a b Brăescu, p. 51
  6. ^ a b Brăescu, p. 52
  7. ^ a b Brăescu, p. 53
  8. ^ a b Brăescu, p. 54
  9. ^ Brăescu, p. 55

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Liliana Brăescu, Eva Kaslik, Simina Mariș, Simona Epure, Ioan Rodilă, Curs de geometrie, Universitatea de Vest din Timișoara, Facultatea de Matematică și Informatică, Departamentul de Informatică

Legături externe[modificare | modificare sursă]