Cuadrică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search
Un exemplu de cuadrică, un paraboloid hiperbolic

În matematică, cuadricele sunt suprafețe algebrice de gradul al doilea, adică suprafețe ale spațiului afin euclidian tridimensional, a căror ecuație se obține prin anularea unui polinom de gradul al doilea în trei variabile.[1]

Prin generalizare, se poate vorbi de suprafețe n-dimensionale în spațiul cu n + 1 dimensiuni generate de locul geometric al soluțiilor unui polinom de gradul doi. În coordonate {x1, x2, ..., xn+1 }, cuadrica generată este definită de o ecuație algebrică de forma:[2]

care poate fi scrisă compact în notație matriceală:

unde x = {x1, x2, ..., xn+1 } este o matrice vector linie, xT este transpusa lui x (un vector coloană), Q este o matrice (n + 1)×(n + 1), P este un vector linie (n + 1)-dimensional, iar R este o constantă scalară. Valorile din Q, P și R sunt de obicei numere reale sau complexe, dar de fapt o cuadrică poate fi definită pe orice inel. În general, locurile geometrice ale soluțiilor polinoamelor sunt varietăți algebrice și fac obiectul geometriei algebrice.

Planul și spațiul euclidian[modificare | modificare sursă]

În planul euclidian cuadricele au o singură dimensiune (n = 1), adică sunt linii, curbe. Aceste cuadrice sunt identice cu secțiunile conice și sunt cunoscute sub numele de conice.

Elipsă (e=1/2), parabolă (e=1) și hiperbolă (e=2) cu același focar F și directoare.

În spațiul euclidian cuadricele au două dimensiuni (n = 2), și formează suprafețe cuadice. Printr-o schimbare de variabilă potrivită (transformare izometrică) și alegerea direcțiilor axelor orice cuadrică din spațiul euclidian poate fi adusă la forma canonică.[3] În spațiul euclidian tridimensional există 16 asemenea forme. Dintre acestea, 11 sunt degenerate. Formele degenerate conțin planuri, linii, puncte sau chiar nimic din acestea.[4]

Cuadrice nedegenerate
Elipsoid[5] Quadric Ellipsoid.jpg
    Sferoid (caz particular al elipsoidului)
        Sferă (caz particular al sferoidului)
Paraboloid eliptic[6] Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
    Paraboloid de rotație (caz particular al paraboloidului eliptic)
Paraboloid hiperbolic[7] Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
Hiperboloid cu o pânză[5] Quadric Hyperboloid 1.jpg
Hiperboloid cu două pânze[6] Quadric Hyperboloid 2.jpg
Cuadrice degenerate
Con[7] Quadric Cone.jpg
    Con de rotație (caz particular al conului)
Cilindru eliptic[8] Quadric Elliptic Cylinder.jpg
    Cilindru de rotație (caz particular al cilindrului eliptic)
Cilindru hiperbolic[8] Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
Cilindru parabolic[9] Quadric Parabolic Cylinder.jpg

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Brăescu, p. 50
  2. ^ en Quadrics în Geometry Formulas and Facts de Silvio Levy, extras din cea de a 30-a ediție a CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (CRC Press).
  3. ^ Cap 9 (Cuadrice), p. 187, unitbv.ro, accesat 2011-02-04
  4. ^ en Stewart Venit and Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
  5. ^ a b Brăescu, p. 51
  6. ^ a b Brăescu, p. 52
  7. ^ a b Brăescu, p. 53
  8. ^ a b Brăescu, p. 54
  9. ^ Brăescu, p. 55

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

  • Liliana Brăescu, Eva Kaslik, Simina Mariș, Simona Epure, Ioan Rodilă, Curs de geometrie, Universitatea de Vest din Timișoara, Facultatea de Matematică și Informatică, Departamentul de Informatică

Legături externe[modificare | modificare sursă]