Topologia sferei

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

Topologia este o ramură a matematicii, mai precis o extensie a geometriei care studiază deformările spațiului prin transformări continue. Vom considera spatiul euclidian 3-dimensional, notat cu E3.

SFERA DIN PUNCT DE VEDERE GEOMETRIC SI TOPOLOGIC[modificare | modificare sursă]

DEFINITIE:Fie O є E3 si r є R.Se numeste sfera cu centrul O si raza r figura S(O,r):= {M є E3 / δ(O;M)=r}; Se numeste corpul(discul) sferic sau bila cu centrul O si raza r, figura B(O,r):= {M є E3 / δ(O;M)≤r}; Se numeste interiorul corpului sferic B(O,r), figura (B(O,r)):= {M є E3 / δ(O;M)<r}; Se numeste exteriorul corpului sferic B(O,r), figura (B(O,r)):= {M є E3 / δ(O;M)>r}; Orice sfera din S(O,r) din E3 este o figura nevida; fiecare semidreapta [OX contine exact un punct al lui S(O,r), iar o dreapta care contine centrul O(normala, dreapta diametrala) intersecteaza sfera S(O,r) in doua puncte (diametral opuse).Sfera nu este o figura convexa, corpul sferic si interiorul sau sunt figuri convexe. Daca S(O,r) este o sfera si α єP este un plan diametral sau normal al lui S(O,r), (O є α), atunci S(O,r) intersectat cu α=:С(O;r) este un cerc, numit cerc mare(ecuator) a lui S(O,r).

OBSERVATIE: 1.Fie A,B є S(O,r) si α Є P. Doua din conditiile urmatoare implica pe cea de-a treia:

  • 1. α este perpendicular pe coarda [AB];
  • 2. α este plan diametral;
  • 3. α contine mijlocul lui [AB];

Orice dreapta diametrala (respectiv plan diametral) este o axa de simetrie (respectiv plan de simetrie) a sferei S(O;r). Exista trei pozitii relative posibile ale unui cuplu sfera-dreapta. Fie sfera S(O;r) si dreapta d Є D.d se numeste tangenta, respectiv secanta, respectiv exterioara la C(O;r), daca d intersecteaza C(O;r) contine un punct, respectiv contine doua puncte, respectiv este multimea vida.
TEOREMA 1.(SFERA-DREAPTA).Fie sfera S(O;r) si dreapta d Є D.

  1. d este secanta la S(O;r)<=> δ(O,d)< r
  2. d este exterioara la S(O;r)<=> δ(O,d)> r
  3. d este tangenta la S(O;r)<=> δ(O,d)= r

OBSERVATII 2. a) O tangenta la sfera este perpendiculara pe baza sferei in punctul de contact. b) O dreapta este tangenta intr-un punct la sfera daca si numai daca ea este tangenta la un cerc mare al sferei, in punctul respectiv. c) Fiecare punct al sferei este centrul unui fascicul de drepte coplanare, care sunt tangente la sfera in acel punct.
Exista, de asemenea, trei pozitii posibile ale unui plan in raport cu o sfera. Fie sfera S(o,r) si planul α Є P, α se numeste plan tangent, respectiv plan secant, respectiv plan exterior la S(O,r), daca α intersectat cu S(O,r) este un punct, respectiv un cerc, respectiv multimea vida.
TEOREMA 2.(SFERA-PLAN).Fie sfera S(O,r) si planul α Є P.

  1. α este un plan secant la S(O,r) <=> δ(O,α)< r;
  2. α este un plan exterior la S(O,r) <=> δ(O,α)> r;
  3. α este un plan tangent la S(O,r) <=> δ(O,α)= r;

OBSERVATIE 3.In fiecare punct al sferei exista un plan tangent unic la sfera;acesta contine toate tangentele la sfera in punctul respectiv. Perpendiculara pe planul tangent la sfera in punctul de contact este normala sferei in punctul de contact.

OBSERVATIE 4.Daca o sfera contine trei puncte, atunci ea contine cercul determinat de aceste puncte. In adevar, daca punctele apartin sferei, atunci ele sunt necoliniare si determina un plan care intersecteaza sfera dupa cercul determinat de cele trei puncte. Iata cateva maniere in care poate fi determinata o sfera.

OBSERVATIE 5.Date trei puncte necoliniare, A,B,C, locul geometric al centrelor sferelor care contin pe A,B,C este perpendiculara pe planul ABC in punctul de intersectie al mediatoarelor triunghiului ABC.

TEOREMA 3.Locul geometric al centrelor sferelor care contin un cerc dat este normala pe planul cercului in centrul acestuia.

TEOREMA 4.Doua cercuri necoplanare, care se intersecteaza, determina o sfera unica.

COROLAR 1.Un cerc si un punct exterior planului sau determina o sfera unica.

COROLAR 2.Exista o sfera unica, care contine patru puncte necoplanare date.
Spatiul euclidian E3 este un spatiu metric, cu metrica (distanta)δ : E3 X E3 -> R , introdusa prin axiomatica geometriei euclidiene în spatiu. Proprietatile distantei, precum si maniera în care poate fi calculata au fost stabilite ulterior prin: axioma riglei, existenta sistemelor de coordinate carteziene ortogonale în plan si în spatiu, teorema lui Pitagora. Daca E3 este raportat la un s.c.c.o OXYZ si S(O,r)={ Mє E3 / δ(O,M)=r} este sfera cu centrul O si de raza r > 0, atunci se poate considera S(O,r) ca o suprafață în spatiul euclidian. O parametrizare a lui S(O,r) poate fi definita prin relatiile:

(u,v) Є ( -Π/2;Π/2 X [0,2Π)

care se numesc ecuatiile parametrice ale sferei S(O,r).

CERCURI PE SFERA[modificare | modificare sursă]

Se numeste suprafata sferica, sau sfera, locul geometric al punctelor din spatiu egal departate de un punct fix O- centrul acestei suprafete.Spatiul marginit de suprafata unei sfere se numeste tot sfera. suprafata sferei poate fi definita ca si suprafata produsa prin rotatia unui semicerc in jurul diametrului sau. Segmentul de dreapta care uneste centrul sferei cu orice punct de pe suprafata ei se numeste raza R a sferei,iar segmentul de dreapta care unind doua puncte de pe suprafata sferei trece si prin centrul ei se numeste diametru;evident, razele eceleiasi sfere sunt egale intre ele, iar un diametru este egal cu doua raze.
La baza geometriei sferice stau urmatoarele teoreme:

TEOREMA1:Sectiunea unei sfere cu un plan oarecare este cerc.

TEOREMA2:Cercurile mari impart sfera si suprafata ei in doua parti egale.

TEOREMA3:Prin doua puncte date pe suprafata unei sfere, daca acestea nu sunt asezate la extremitatile aceluiasi diametru, se poate duce un cerc mare si numai unul.

TEOREMA4:Intersectia planelor a doua cercuri mari este un diametru al lor si le imparte in doua parti egale.

TEOREMA5:Cea mai scurta distanta pe sfera intre doua puncte de pe suprafata ei este un arc de cerc mare, mai mic de 1800.