Mulțimea lui Cantor

Ilustrarea primilor şase paşi ai operaţiei de construire a mulţimii Cantor

Mulțimea lui Cantor (sau discontinuul lui Cantor sau praful lui Cantor) este un concept în cadrul topologiei atribuit matematicianului Georg Cantor.

Construire

Mulţimea lui Cantor în spațiul bidimensional 2D.

Considerăm, pe mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$, intervalul închis $[0, 1] \,$. Din acest interval excludem treimea din mijloc, adică $\left ( \frac{1}{3} , \frac {2}{3} \right )$. Rămân intervalele:

$\left[ 0, \frac{1}{3} \right]$ și $\left[ \frac{2}{3}, 1 \right]$.

Și din acestea excludem "treimea centrală", ș.a.m.d.

Astfel definim șirul de mulțimi:

$A_0 = [ 0, 1 ] \,$

$A_1 = [ 0 , \frac{1}{3}] \cup [ \frac{2}{3} , 1 ]$

$A_2 = [ 0, \frac {1}{9}] \cup [ \frac{2}{9} , \frac {1}{3}] \cup [ \frac {2}{3} , \frac {7}{9} ] \cup [ \frac{8}{9} , 1 ]$

Atunci mulțimea lui Cantor este:

$K = \lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$ .

Proprietăți

Mulţimea lui Cantor în spațiul tridimensional 3D.

Să calculăm suma lungimilor intervalelor înlăturate din intervalul unitar:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac {2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac {8}{81} + \cdots = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1-\frac{2}{3}} \right) =1$.

Așadar, mulțimea lui Cantor are următoarele proprietăți:

• Nu are nici un punct de acumulare, deci nu este densă în niciun punct.

• Are măsura Lebesgue nulă.

• Dimensiunea Hausdorff a mulțimii nu este număr întreg, deci mulțimea lui Cantor este un fractal.

• Este echipotentă cu mulțimea numerelor reale $\mathbb{R}$.

Bibliografie

• Iacob, Caius: Curs de matematici superioare, București, 1957
• Cantor, Georg: On the Power of Perfect Sets of Points, Acta Mathematica 4, 1993. ISBN 0-201-58701-7

Vezi și

• Mulțime densă
• Mulțime

Legături externe

• en Mulțimile lui Cantor la Cut-the-Knot