Micul dodecaedru trunchiat stelat

Descriere
Micul dodecaedru trunchiat stelat

(model 3D)
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	24 (12 pentagoane, 12 decagrame)
Laturi (muchii)	90
Vârfuri	60
χ	−6
Configurația vârfului	5.10/3.10/3^[1]
Simbol Wythoff	2 5 \| 5/3^[1] sau 2 5/4 \| 5/3
Simbol Schläfli	t{5/3,5}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	I_h, [5,3], (*532) ^[1]
Volum	≈4,698 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	marele dodecaedru pentakis
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul dodecaedru trunchiat stelat este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₅₈. Are 24 de fețe (12 pentagoane și 12 decagrame), 90 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 24 de fețe este un icositetraedru neconvex. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă laturi sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 2 5 | 5/3,^[1]^[2] simbolul Schläfli t{5/3,5}, și diagrama Coxeter .

Mărimi asociate[modificare | modificare sursă]

Coordonate carteziene[modificare | modificare sursă]

Având în comun vârfurile cu compusul de șase prisme pentagramice, coordonatele carteziene ale vârfurilor sale cu lungimea laturii 2, centrat în origine, sunt toate permutările ale^[3]^[4]

\left(\,\pm \varphi ,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm (2-\varphi )\,\right)

plus toate permutările pare ale

\left(\,0,\,\pm 1,\,\pm (3-\varphi )\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm (\varphi -1),\,\pm (\varphi -1)\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza circumscrisă[modificare | modificare sursă]

Raza circumscrisă în funcție de lungimea laturilor $a$ este:^[5]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34-10{\sqrt {5}}}}\,a\approx 0,852911\,a.

Volum[modificare | modificare sursă]

Următoarea formulă pentru volum $V$ este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) $a$ este:

V={\frac {11}{4}}\left(3{\sqrt {5}}-5\right)\,a^{3}\approx 4,697561~a^{3}.

Poliedre înrudite[modificare | modificare sursă]

Acest compus are în comun aranjamentul vârfurilor cu trei poliedre uniforme: rombicosidodecaedrul, micul dodecicosidodecaedru și micul rombidodecaedru și cu doi compuși poliedrici uniformi: compusul de șase prisme pentagramice și compusul de douăsprezece prisme pentagramice.

Rombicosidodecaedru	Micul dodecicosidodecaedru	Micul rombidodecaedru
Micul dodecaedru stelat trunchiat	Compus de șase prisme pentagramice	Compus de douăsprezece prisme pentagramice

Poliedru dual[modificare | modificare sursă]

Dualul său este marele dodecaedru pentakis.^[6]

Note[modificare | modificare sursă]

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „58: small stellated truncated dodecahedron”. MathConsult. Accesat în 30 decembrie 2023.
^ en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. p. 9–10
^ en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
^ en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
^ en Eric W. Weisstein, Small stellated truncated dodecahedron la MathWorld.
^ en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Lista poliedrelor uniforme

Legături externe[modificare | modificare sursă]

en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: quit sissid

[mc-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e en Maeder, Roman. „58: small stellated truncated dodecahedron”. MathConsult. Accesat în 30 decembrie 2023.

[W-2] Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. p. 9–10

[3] Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids

[4] Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.

[MW-5] Eric W. Weisstein, Small stellated truncated dodecahedron la MathWorld.

[6] Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v d m Poliedre neconvexe
Poliedre Kepler–Poinsot	micul dodecaedru stelat marele dodecaedru marele dodecaedru stelat marele icosaedru
Trunchieri uniforme ale poliedrelor Kepler–Poinsot	dodecadodecaedru marele dodecaedru trunchiat rombidodecadodecaedru dodecadodecaedru trunchiat dodecadodecaedru snub marele icosidodecaedru marele icosaedru trunchiat marele rombicosidodecaedru neconvex marele icosidodecaedru trunchiat
hemipoliedre uniforme neconvexe	tetrahemihexaedru cubohemioctaedru octahemioctaedru micul dodecahemidodecaedru micul icosihemidodecaedru marele dodecahemidodecaedru marele icosihemidodecaedru marele dodecahemicosaedru micul dodecahemicosaedru
Duale ale poliedrelor uniforme neconvexe	triacontaedru rombic medial micul dodecaedru stelapentakis hexacontaedru romboidal medial hexacontaedru pentagonal medial triacontaedru disdiakis medial marele triacontaedru rombic marele dodecaedru stelapentakis marele hexacontaedru romboidal marele triacontaedru disdyakis marele hexacontaedru pentagonal