Rest (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În algebră, când rezultatul împărțirii a două numere întregi nu poate fi exprimat printr-un cât întreg, restul reprezintă cantitatea ramasă.

Restul pentru numerele naturale[modificare | modificare sursă]

Daca a și d sunt numere naturale și d este diferit de zero, se poate demonstra că există numerele întregi unice q și r, astfel încât a = qd + r și 0 ≤ r < d. Numărul q poartă denumirea de cât, iar r cea de rest.

Exemple[modificare | modificare sursă]

  • Când 13 se împarte la 10, câtul este 1 și restul este 3, pentru că 13=1×10+3.
  • Când 26 se împarte la 4, câtul este 6 și restul este 2, pentru că 26=6×4+2.
  • Când 56 se împarte la 7, câtul este 8 și restul este 0, pentru că 56=7×8+0.
  • Când 3 se împarte la 10, restul este 3, deoarece atunci când împărțitorul este mai mare decat deîmpărțitul, restul este egal cu deîmpărțitul.

Restul pentru numerele întregi[modificare | modificare sursă]

Dacă a și d sunt numere întregi și d este diferit de zero, atunci restul este un număr întreg r, astfel încât a = qd + r pentru un număr întregq și 0 ≤ |r| < |d|. Când se definește în acest fel, există două resturi posibile. Spre exemplu, împărțirea numărului −42 la −5 se poate exprima ca

−42 = 9×(−5) + 3

reprezentarea preferată de matematicieni, sau

−42 = 8×(−5) + (−2).

Deci restul este 3 sau -2. Această ambiguitate poate fi o problemă serioasă pentru sistemele de calcul cu importanță majoră, unde alegerea incorectă poate avea consecințe dezastruase. În cazul de mai sus, restul negativ se obține din cel pozitiv, scăzând 5, adică d. La împărțirea cu d, dacă restul pozitiv este r1 și cel negativ este r2, atunci

r1 = r2 + d.

Restul pentru numerele reale[modificare | modificare sursă]

Dacă a și d sunt numere reale și d este diferit de zero, a poate fi împărțit la d fără rest, câtul fiind un număr real. Dacă acesta trebuie să fie un număr întreg, restul este necesar. Se poate demonstra că există un cât întreg unic q și un rest real unic r, astfel încât a=qd+r, cu 0≤r < |d|. Ca în cazul împărțirii cu numere întregi, restul poate fi negativ: -|d| < r ≤ 0.

Extinderea definiției restului pentru numere reale nu are o importanță teoretică în matematică, dar multe limbaje de programare implementează această definiție.

Inegalitatea satisfacută de rest[modificare | modificare sursă]

Prin modul în care a fost definit restul, pe lângă egalitatea a=qd+r, a fost impusă și o inegalitate, scrisă ca 0≤ r < |d| sau -|d| < r ≤ 0. Această inegalitate este necesară pentru ca restul să fie unic, adică bine definit. Alegerea unei astfel de inegalități este relativ arbitrară. Orice condiție de forma x < rx+|d| (sau xr < x+|d|), unde x este o constantă, este suficientă pentru a garanta unicitatea restului.

Câtul și restul în limbaje de programare[modificare | modificare sursă]

Având o alegere între două resturi diferite, unul negativ și celălalt pozitiv, înseamnă că sunt și două câturi diferite. În teoria numerelor, se alege întotdeauna restul pozitiv, dar nu și în limbajele de programare. C99 și Pascal aleg restul cu același semn ca deîmpărțitul a. (Înainte de C99, limbajul C permitea ambele posibilități) Perl și Python aleg restul cu același semn ca împărțitorul d.

Vezi și[modificare | modificare sursă]

Legături externe[modificare | modificare sursă]

  • Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 25. ISBN 0-521-63446-6 
  • Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1