Trisectoarea lui Maclaurin

Trisectoarea lui Maclaurin ca loc geometric al intersecției a două drepte care se rotesc

În geometria algebrică trisectoarea lui Maclaurin este o curbă plană cubică notabilă pentru proprietatea sa de a diviza în trei, ceea ce înseamnă că poate fi folosită pentru trisecțiunea unui unghi. Poate fi definită ca locul geometric al punctului de intersecție a două drepte^⁠(d), fiecare rotindu-se cu o viteză unghiulară uniformă în jurul punctelor lor fixe, separate, astfel încât raportul vitezelor de rotație să fie 1:3 iar dreptele coincid inițial cu dreapta care trece prin cele două puncte. O generalizare a acestei construcții se numește curbă divizoare a lui Maclaurin. Curba poartă numele lui Colin Maclaurin care a studiat curba în 1742.

Ecuații

Fie două drepte care se rotesc în jurul punctelor $P=(0,0)$ și $P_{1}=(a,0)$ astfel încât, atunci când dreapta care se rotește în jurul punctului său fix $P$ formează cu axa Ox unghiul $\theta$, iar dreapta care se rotește în jurul punctului său fix $P_{1}$ formează cu axa Ox unghiul $3\theta$. Dacă Q este punctul de intersecție al dreptelor, atunci unghiul format de drepte în Q este $2\theta$. Din teorema sinusurilor,

${r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }$

rezultă ecuația în coordonate polare, care este (fără ca axele să fie translate sau rotite)

$r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )$.

Prin urmare, curba este un membru al familiei de concoide ale lui de Sluze.

În coordonate carteziene ecuația acestei curbe este

$2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})$.

Dacă originea este mutată în (a, 0), atunci un raționament similar cu cel de mai sus arată că ecuația curbei în coordonate polare devine

$r=2a\cos {\theta \over 3},$

fiind un exemplu de „melc” cu o buclă.

Proprietatea de a fi o trisectoare

Trisectoarea lui Maclaurin demonstrând proprietatea de a trisecta unghiurile

Din punctul $(a,0)$ se trasează o dreaptă care formează cu axa Ox unghiul $\phi$. Din origine se trasează o dreaptă prin punctul unde dreapta precedentă intersectează curba. Atunci, prin construcția curbei, unghiul dintre a doua dreaptă și axa Ox este $\phi /3$.

Puncte și caracteristici notabile

Curba are o intersecție cu axa Ox în $3a \over 2$ și un punct dublu în origine. Dreapta verticală $x={-{a \over 2}}$ este o asimptotă. Curba intersectează dreapta x = a sau punctul corespunzător trisecțiunii unui unghi drept, în $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})$. Ca o cubică nodală, este de genul zero.

Relația cu alte curbe

Trisectoarea lui Maclaurin poate fi definită cu ajutorul conicelor în trei moduri.

• Este inversa față de cercul unitate al hiperbolei

$2x=a(3x^{2}-y^{2})$.

• Este cisoida cercului

$(x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}$

și a dreptei $x={a \over 2}$ față de origine.

• Este podara față de origine a parabolei

$y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)$.

În plus:

• Inversa față de punctul $(a,0)$ este melcul lui Pascal.
• Este legată de foliul lui Descartes printr-o transformare afină^⁠(d).

Legături externe

• Materiale media legate de trisectoarea lui Maclaurin la Wikimedia Commons
• en Loy, Jim "Trisection of an Angle", Part VI