Sari la conținut

Transformări elementare ale matricilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

În matematică, o matrice elementară este o matrice care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor, iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor. Aceste operații elementare sunt:

  • schimbarea a două (linii/coloane) între ele;
  • înmulțirea tuturor elementelor unei (linii/coloane) cu un scalar;
  • adunarea la toate elementelor unei (linii/coloane) a elementelor altei (linii/coloane) înmulțite cu un scalar.

Aceste operații elementare sunt întâlnite la dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii sau coloane transformate în prealabil pentru a conține cât mai multe nule sau la aducerea în forma LU necesară pentru eliminarea gaussiană.

În continuare, se consideră matrici cu elemente într-un corp. Vom numi „rând” al unui matrici, o linie sau coloană a acelei matrici, dar de aceeași natură (linie sau coloană) în cadrul aceleiași operații.

Există următoarele tipuri de matrici elementare:

  • Matricea unitate = matricea identitate
  • Matricea nulă
  • Matricea de transpoziție
  • Matricea de înmulțire
  • Matricea de adunare

Matricea identitate

[modificare | modificare sursă]

Matricea unitate (sau matricea identitate) de dimensiune n este o matrice pătrată având toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar restul elementelor egale cu 0. Se notează cu: In, (sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea).

Se mai notează:

sau:

unde este simbolul lui Kronecker: 1 dacă i=j, 0 altfel.

Cea mai importantă proprietate a acestei matrici este de a fi element neutru la înmulțirea matricilor:

Matricea nulă

[modificare | modificare sursă]

Matricea nulă (sau matricea zero) de dimensiune m × n având toate elementele egale cu zero. Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor.

Matricea de transpoziție

[modificare | modificare sursă]

În această matrice, Tij, sunt schimbate toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j. Elementele acestei matrici sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate; schimbând coloana i cu coloana j, se obține același rezultat:

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]
  • Inversa acestei matrici este ea însăși: Tij−1=Tij;
  • Determinantul acestei matrici este egal cu -1;
  • Produsul matricilor: Tij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Tij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de înmulțire

[modificare | modificare sursă]

Această matrice, Ti(k), înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k. Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricii unitate:

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]
  • Inversa acestei matrici este: Ti(k)−1 = Ti(1/k).
  • det[Ti(k)] = k.
  • Produsul matricilor: Ti(k).A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Ti(k) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de adunare

[modificare | modificare sursă]

Proprietăți

[modificare | modificare sursă]
  • Inversa acestei matrici: Tij(k)−1 = Tij(−k) .
  • det[Tij(k)] = 1.
  • Produsul matricilor: Tij(k).A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Tij(k) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricile de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și în algoritmii de inversare a matricilor.