Transformări elementare ale matricilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Salt la: Navigare, căutare

În matematică, o matrice elementară este o matrice care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor, iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor. Aceste operații elementare sunt:

  • schimbarea a două (linii/coloane) între ele;
  • înmulțirea tuturor elementelor unei (linii/coloane) cu un scalar;
  • adunarea la toate elementelor unei (linii/coloane) a elementelor altei (linii/coloane) înmulțite cu un scalar.

În continuare, ne vom referi la matrici cu elemente intr-un corp. Vom numi „rând” al unui matrici, o linie sau coloană a acelei matrici, dar de aceeași natură (linie sau coloană) în cadrul aceleiași operații.

Există următoarele tipuri de matrici elementare:

  • Matricea identitate
  • Matricea nulă
  • Matricea de transpoziție
  • Matricea de multiplicare
  • Matricea de adunare

Matricea identitate[modificare | modificare sursă]

Matricea identitate sau matricea unitate de dimensiune n este o matrice pătratică având toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar restul elementelor egale cu 0. Se notează cu: In, (sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea).


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Se mai notează:

 I_n = \mathrm{diag}(1,1,...,1). \,

sau:

(I_n)_{ij} = \delta_{ij}. \,

unde  \delta_{ij} este simbolul lui Kronecker: 1 dacă i=j, 0 altfel.

Cea mai importantă proprietate a acestei matrici este de a fi element neutru la înmulțirea matricilor:

I_m.A = A.I_n = A. \,

Matricea nulă[modificare | modificare sursă]

Matricea nulă (sau matricea zero) de dimensiune m×n având toate elementele egale cu zero. Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor.


0_{m,n} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}_{m \times n}

Matricea de transpoziție[modificare | modificare sursă]

Această matrice, Tij, schimbă toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j. Elementele acestei matrici sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate; schimbând coloana i cu coloana j, se obține același rezultat:


T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Inversa acestei matrici este ea însăși: Tij−1=Tij;
  • Determinantul acestei matrici este egal cu -1;
  • Produsul matricilor: Tij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Tij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate.


Matricea de multiplicare[modificare | modificare sursă]

Această matrice, Ti(k), înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k. Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricii unitate:


T_i(k) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & k & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Inversa acestei matrici este: Ti(k)−1 = Ti(1/k).
  • det[Ti(k)] = k.
  • Produsul matricilor: Ti(k).A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Ti(k) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de adunare[modificare | modificare sursă]


T_{i,j}(k) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & k & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}

Proprietăți[modificare | modificare sursă]

  • Inversa acestei matrici: Tij(k)−1 = Tij(−k) .
  • det[Tij(k)] = 1.
  • Produsul matricilor: Tij(k).A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
  • Produsul matricilor: A.Tij(k) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Matricile de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sisemelor de ecuații liniare și în algpritmii de inversare a matricilor.

Referințe[modificare | modificare sursă]