Transformări elementare ale matricilor

În matematică, o matrice elementară este o matrice care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor, iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor. Aceste operații elementare sunt:

• schimbarea a două (linii/coloane) între ele;
• înmulțirea tuturor elementelor unei (linii/coloane) cu un scalar;
• adunarea la toate elementelor unei (linii/coloane) a elementelor altei (linii/coloane) înmulțite cu un scalar.

Aceste operații elementare sunt întâlnite la dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii sau coloane transformate în prealabil pentru a conține cât mai multe nule sau la aducerea în forma LU necesară pentru eliminarea gaussiană.

În continuare, se consideră matrici cu elemente într-un corp. Vom numi „rând” al unui matrici, o linie sau coloană a acelei matrici, dar de aceeași natură (linie sau coloană) în cadrul aceleiași operații.

Există următoarele tipuri de matrici elementare:

• Matricea unitate = matricea identitate
• Matricea nulă
• Matricea de transpoziție
• Matricea de înmulțire
• Matricea de adunare

Matricea identitate

Matricea unitate (sau matricea identitate) de dimensiune n este o matrice pătrată având toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar restul elementelor egale cu 0. Se notează cu: I_n, (sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea).

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Se mai notează:

$I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,...,1).\,$

sau:

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.\,$

unde $\delta _{ij}$ este simbolul lui Kronecker: 1 dacă i=j, 0 altfel.

Cea mai importantă proprietate a acestei matrici este de a fi element neutru la înmulțirea matricilor:

$I_{m}.A=A.I_{n}=A.\,$

Matricea nulă

Matricea nulă (sau matricea zero) de dimensiune m × n având toate elementele egale cu zero. Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor.

$0_{m,n}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}_{m\times n}$

Matricea de transpoziție

În această matrice, T_ij, sunt schimbate toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j. Elementele acestei matrici sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate; schimbând coloana i cu coloana j, se obține același rezultat:

$T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad$

Proprietăți

• Inversa acestei matrici este ea însăși: T_ij⁻¹=T_ij;
• Determinantul acestei matrici este egal cu -1;
• Produsul matricilor: T_ij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate;
• Produsul matricilor: A.T_ij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de înmulțire

Această matrice, T_i(k), înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k. Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricii unitate:

$T_{i}(k)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&k&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad$

Proprietăți

• Inversa acestei matrici este: T_i(k)⁻¹ = T_i(1/k).
• det[T_i(k)] = k.
• Produsul matricilor: T_i(k).A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
• Produsul matricilor: A.T_i(k) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de adunare

$T_{i,j}(k)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&k&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Proprietăți

• Inversa acestei matrici: T_ij(k)⁻¹ = T_ij(−k) .
• det[T_ij(k)] = 1.
• Produsul matricilor: T_ij(k).A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate;
• Produsul matricilor: A.T_ij(k) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Aplicații

Matricile de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și în algoritmii de inversare a matricilor.

Referințe

• Axler, Sheldon Jay, Algebră liniară, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C., Algebră liniară și aplicații, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D., Analiză matriceală și algebră liniară aplicată”, ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html Arhivat în 31 octombrie 2009, la Wayback Machine.
• Poole, David, Algebră liniară: o introducere modernă”, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard, Algebră liniară și aplicații
• Leon, Steven J., Algebră liniară și aplicații
• Ion D.Ion, C.Niță, Elemente de aritmetică cu aplicații în tehnica de calcul, Editura tehnică, București, 1978