Teorema Stolz-Cesàro

În matematică, teorema Stolz–Cesàro sau teorema Cesàro–Stolz este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir. Ea poartă numele matematicienilor Otto Stolz și Ernesto Cesàro, care au formulat-o și au demonstrat-o pentru prima dată.

Teorema Stolz–Cesàro poate fi privită ca o generalizare a mediei Cesàro, dar și ca o versiune pentru șiruri a regulii lui l'Hôpital.

Enunțul teoremei pentru cazul */∞

Fie $(a_{n})_{n\geq 1}$ și $(b_{n})_{n\geq 1}$ două șiruri de numere reale. Presupunem că $(b_{n})_{n\geq 1}$ este un șir strict monoton și divergent (adică strict crescător și cu limita $+\infty$, sau strict descrescător și cu limita $-\infty$) și că există limita:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

Atunci,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Enunțul teoremei pentru cazul 0/0

Fie $(a_{n})_{n\geq 1}$ și $(b_{n})_{n\geq 1}$ două șiruri de numere reale. Presupunem acum că $a_{n}\to 0$ și $b_{n}\to 0$, iar $(b_{n})_{n\geq 1}$ este strict descrescător. Dacă

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\$

atunci

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Demonstrații

Demonstrația teoremei pentru cazul */∞

Cazul 1: presupunem că $(b_{n})$ este strict crescător și divergent către $+\infty$, iar $-\infty <l<\infty$. Prin ipoteză, pentru orice $\epsilon /2>0$ există $\nu >0$ astfel încât, pentru orice $n>\nu$,

$\left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},$

adică

$l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .$

Cum $(b_{n})$ este strict crescător, avem $b_{n+1}-b_{n}>0$, deci

$(l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu .$

Observăm apoi că

$a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}$

și, aplicând inegalitatea de mai sus fiecărui termen din paranteza pătrată, obținem

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}$

Acum, deoarece $b_{n}\to +\infty$ când $n\to \infty$, există un $n_{0}>0$ astfel încât $b_{n}>0$ pentru orice $n>n_{0}$, iar inegalitățile de mai sus pot fi împărțite la $b_{n}$ pentru orice $n>\max\{\nu ,n_{0}\}$:

$(l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.$

Cele două șiruri (definite doar pentru $n>n_{0}$, întrucât ar putea exista un $N\leq n_{0}$ astfel încât $b_{N}=0$)

$c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

sunt infinitezimale, deoarece $b_{n}\to +\infty$ și numărătorul este o constantă. Prin urmare, pentru orice $\epsilon /2>0$ există $n_{\pm }>n_{0}>0$ astfel încât

${\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}$

de unde rezultă

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,$

ceea ce încheie demonstrația. Cazul în care $(b_{n})$ este strict descrescător și divergent către $-\infty$, iar $l<\infty$, se demonstrează în mod similar.

Cazul 2: presupunem că $(b_{n})$ este strict crescător și divergent către $+\infty$, iar $l=+\infty$. Procedând ca mai înainte, pentru orice $2M>0$ există $\nu >0$ astfel încât, pentru orice $n>\nu$,

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.$

Din nou, aplicând inegalitatea de mai sus fiecărui termen din paranteza pătrată, obținem

$a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,$

iar

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.$

Șirul $(c_{n})_{n>n_{0}}$ definit prin

$c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}$

este infinitezimal, astfel încât

$\forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ astfel încât }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}},$

iar, combinând această inegalitate cu cea precedentă, deducem

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.$

Toate celelalte cazuri, cu $(b_{n})$ strict crescător sau strict descrescător și cu limita $+\infty$ ori $-\infty$, iar $l=\pm \infty$, se tratează în același mod.

Demonstrația teoremei pentru cazul 0/0

Cazul 1: considerăm mai întâi cazul în care $l<\infty$ și $(b_{n})$ este strict descrescător. De data aceasta, pentru fiecare $\nu >0$, putem scrie

$a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },$

iar pentru orice $\epsilon /2>0$, există $n_{0}$ astfel încât, pentru orice $n>n_{0}$, avem

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}$

Cele două șiruri

$c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

sunt infinitezimale, deoarece, prin ipoteză, $a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0$ când $\nu \to \infty$. Așadar, pentru orice $\epsilon /2>0$ există $\nu _{\pm }>0$ astfel încât

${\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-},\end{aligned}}$

deci, alegând $\nu$ în mod convenabil (adică luând limita în raport cu $\nu$), obținem

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}$

ceea ce încheie demonstrația.

Cazul 2: presupunem că $l=+\infty$ și că $(b_{n})$ este strict descrescător. Pentru orice $2M>0$ există $n_{0}>0$ astfel încât, pentru orice $n>n_{0}$,

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).$

Prin urmare, pentru fiecare $\nu >0$,

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.$

Șirul

$c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}$

converge la $0$ (ținând $n$ fix). Deci

$\forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0$ astfel încât $-M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},$

iar, alegând $\nu$ în mod convenabil, încheiem demonstrația:

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.$

Aplicații și exemple

Teorema în cazul $\infty /\infty$ are câteva consecințe notabile, utile la calculul limitelor.

Media aritmetică

Fie $(x_{n})$ un șir de numere reale care converge la $l$ și definim

$a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n$

Atunci $(b_{n})$ este strict crescător și divergent către $+\infty$. Calculăm

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l$

deci

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Dacă $(x_{n})_{n\geq 1}$ este orice șir de numere reale și

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

există (finit sau infinit), atunci

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Media geometrică

Fie $(x_{n})$ un șir de numere reale pozitive care converge la $l$ și definim

$a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,$

din nou calculăm

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),$

unde am folosit faptul că logaritmul este continuu. Rezultă că

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),$

iar, deoarece logaritmul este atât continuu, cât și injectiv, putem concluziona că

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Dacă $(x_{n})_{n\geq 1}$ este orice șir de numere reale strict pozitive și

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

există (finit sau infinit), atunci

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Presupunem că avem un șir $(y_{n})_{n\geq 1}$ și trebuie să calculăm

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

definind $y_{0}=1$ și $x_{n}=y_{n}/y_{n-1}$, obținem

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},$

iar, dacă aplicăm proprietatea de mai sus,

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.$

Această ultimă formă este, de obicei, cea mai utilă pentru calculul limitelor.

Dacă $(y_{n})_{n\geq 1}$ este orice șir de numere reale strict pozitive și

$\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}$

există (finit sau infinit), atunci

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.$

Exemple

Exemplul 1

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.$

Exemplul 2

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}$

unde am folosit reprezentarea lui $e$ ca limită a unui șir.

Forma generală

Enunț

Forma generală a teoremei Stolz–Cesàro este următoarea: Dacă $(a_{n})_{n\geq 1}$ și $(b_{n})_{n\geq 1}$ sunt două șiruri astfel încât $(b_{n})_{n\geq 1}$ este monoton și nemărginit, atunci:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Demonstrație

În loc să demonstrăm enunțul precedent, vom demonstra unul ușor diferit; mai întâi introducem o notație: fie $(a_{n})_{n\geq 1}$ orice șir, iar suma sa parțială o notăm prin $A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}$. Enunțul echivalent pe care îl vom demonstra este:

Fie $(a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}$ două șiruri de numere reale astfel încât

• $b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}$,
• $\lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty$,

atunci

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Demonstrația enunțului echivalent

Mai întâi observăm că:

• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ rezultă direct din definiția lui limita superioară și limita inferioară;
• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ este echivalent cu $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$, deoarece $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})$ pentru orice șir $(x_{n})_{n\geq 1}$.

Așadar, trebuie să demonstrăm doar că $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$. Dacă $L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty$, nu mai este nimic de demonstrat; prin urmare putem presupune că $L<+\infty$ (poate fi finit sau $-\infty$). Prin definiția lui $\limsup$, pentru orice $l>L$ există un număr natural $\nu >0$ astfel încât

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .$

Putem folosi această inegalitate pentru a scrie

$A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,$

iar, cum $b_{n}>0$, rezultă și $B_{n}>0$, deci putem împărți la $B_{n}$:

${\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .$

Deoarece $B_{n}\to +\infty$ când $n\to +\infty$, șirul

${\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ când }}n\to +\infty {\text{ (cu }}\nu {\text{ fix)}}.$

Prin urmare,

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,$

iar prin definiția marginii superioare aceasta înseamnă exact că

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},$

și demonstrația este încheiată.

Demonstrația enunțului original

Acum, luăm $(a_{n}),(b_{n})$ ca în enunțul formei generale a teoremei Stolz–Cesàro și definim

$\alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1$

deoarece $(b_{n})$ este strict monoton (putem presupune, de exemplu, că este strict crescător), avem $\beta _{n}>0$ pentru orice $n$, iar cum $b_{n}\to +\infty$, rezultă și $\mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty$. Prin urmare, putem aplica teorema tocmai demonstrată șirurilor $(\alpha _{n}),(\beta _{n})$ (și sumelor lor parțiale $(\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})$):

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},$

ceea ce este exact ceea ce trebuia demonstrat.

Referințe

• Mureșan, Marian (2008), A Concrete Approach to Classical Analysis, Berlin: Springer, pp. 85–88, ISBN 978-0-387-78932-3 .
• Stolz, Otto (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leipzig: Teubners, pp. 173–175 .
• Cesàro, Ernesto (1888), „Sur la convergence des séries”, Nouvelles annales de mathématiques, Series 3, 7: 49–59 .
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, I, Berlin: Springer .
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, ISBN: 9788132221487, pp. 59-62
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR)

Legături externe

• Regula lui l'Hôpital și teorema Stolz–Cesàro pe imomath.com
• Demonstrația teoremei Stolz–Cesàro la PlanetMath

Note

Acest articol cuprinde material de la Teorema Stolz-Cesàro de la PlanetMath, licențiat cu Creative Commons Atribuire/Distribuire în condiții identice.