Teorema Stolz-Cesàro

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Jump to navigation Jump to search

În analiza matematică, teorema Stolz-Cesàro (numită și lema Stolz-Cesàro) este un criteriu pentru demonstrarea convergenței unui șir.

Enunț[modificare | modificare sursă]

Fie și două șiruri de numere reale, astfel încât este strict crescător și

Dacă există atunci există și și

Demonstrație[modificare | modificare sursă]

Fie (xn) un șir mărginit. Rezultă că există intervalul I1 = [ a1, b1 ], care conține toți termenii săi. Împărțim intervalul I1 în două părți: [ a1, (a1 + b1) / 2 ] și [ (a1 + b1) / 2, b1 ]. Cel puțin una din aceste părți va conține o infinitate de termeni ai șirului (an). Notăm acest interval I2 = [ a2, b2 ]. Evident, avem a1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ b1 și b2 - a2 = (b1 - a1) / 2. Împărțim intervalul I2 în două părți, astfel: [ a2, (a2 + b2) / 2 ] și [ (a2 + b2) / 2, b2 ]. Notăm cu I3 = [ a3, b3 ], una din părțile care conțin o infinitate de termeni ai șirului (an). Se obține astfel: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 și b3 - a3 = (b1 - a1) / 4.
Continuând procedeul de împărțire pentru intervalele rezultate se obține șirul de intervale In = [ an, bn ], n ≥ 1, astfel încât:

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ ... ≤ bn+1 ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 și bn - an = (b1 - a1) / 2n, n ≥ 1.

Din teorema lui Weierstrass rezultă că șirurile (an) și (bn) sunt convergente și .
Deoarece în fiecare interval I1, I2, ..., In, ... se află un număr infinit de termeni ai șirului (an), alegem câte un termen din fiecare interval:

a n1 din I1, a n2 din I2, ..., a nk din Ik, unde n1 < n2 < ... < nk < ....

Rezultă că ap ≤ anp ≤ bp, p din N*, relație din care se obține cu criteriul cleștelui: . Așadar, subșirul (anp) este convergent.

Aplicații[modificare | modificare sursă]

Să se determine:

Rezolvare. Notăm: și

Avem:

Să se determine

Se consideră și

Se ține seama că:

unde la numitor s-a efectuat descompunerea cu ajutorul binomului lui Newton.

Așadar,

Bibliografie[modificare | modificare sursă]

Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed. Carminic, Pitești.