Spațiu Banach

În analiza matematică, un spațiu Banach este un spațiu vectorial normat complet, adică în care orice șir Cauchy este convergent.

Spațiile Banach sunt numite după matematicianul polonez Stefan Banach (1892-1945).

Definiție

În teoria spațiilor liniare normate, cele mai importante rezultate se obțin în cazul când este îndeplinită condiția de completitudine.

Noțiunea de completitudine este bazată pe cea de șir Cauchy: un șir $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ de elemente dintr-un spațiu liniar normat $\left(X,\,\|\cdot \|\right)$ se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi $\varepsilon >0,$ există un indice $N(\varepsilon )$ astfel încât $n,m\geq N(\varepsilon )$ implică $\|x_{n}-x_{m}\|<\varepsilon .$

Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy, dar reciproc nu este adevărat în general. Spațiile Banach sunt spațiile în care este cazul.

Definiție — Un spațiu liniar normat $X$ în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.

Exemple de spații Banach

Prin echivalența normelor în dimensiune finită, oricare spațiu liniar normat finit-dimensional este spațiu Banach.

Un alt exemplu important de spațiu Banach este spațiul $ℓ p$ al șirurilor $p$ -absolut sumabile, cu $p\geq 1$ .

Teoremă — Fie $\mathbb {K}$ corp comutativ complet și fie $p\geq 1.$ Fie spațiul liniar normat $\left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)$ al șirurilor $x=\{\alpha _{j}\}_{j=1}^{\infty }$ din $\mathbb {K}$ astfel încât seria $\textstyle \sum _{j}|\alpha _{j}|^{p}$ este convergentă, unde norma este definită de:

\|x\|_{p}=\left(\sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{j}|^{p}\right)^{1/p}.

Atunci $\left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)$ este spațiu Banach.

Demonstrație

Faptul că $x\mapsto \|x\|_{p}$ este normă, rezultă din inegalitatea lui Minkowski pentru sume finite.

Fie $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ un șir Cauchy din spațiul $\ell _{\mathbb {K} }^{p},$ unde $x_{n}=\{\alpha _{nj}\}_{j=1}^{\infty },$ și fie $\varepsilon >0.$ Atunci există un număr natural $k_{\varepsilon }$ astfel încât $\|x_{n}-x_{m}\|_{p}<\varepsilon$ pentru orice $n,m>k_{\varepsilon }$ — adică $\textstyle \sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|^{p}<\varepsilon ^{p}.$ În particular, pentru orice $j\geq 1$ , $|\alpha _{nj}-\alpha _{mj}|<\varepsilon$ dacă $n,m>k_{\varepsilon },$ de unde rezultă că șirul $\{\alpha _{nj}\}_{n=1}^{\infty }$ este Cauchy. Prin complitudinea lui $\mathbb {K}$ , există $\textstyle \alpha _{j}=\lim _{n}\alpha _{nj}\in \mathbb {K} .$ Fie atunci $x=\{\alpha _{j}\}_{j=1}^{\infty }.$ Rezultă că pentru orice $n>k_{\varepsilon },$

\sum _{j=1}^{\infty }|\alpha _{nj}-\alpha _{j}|^{p}<\varepsilon ^{p},

de unde se deduce că:

$x_{n}-x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p},$ iar spațiul $\ell _{\mathbb {K} }^{p}$ fiind liniar, $x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p};$
Pentru orice $n>k_{\varepsilon },$ $\|x_{n}-x\|_{p}<\varepsilon .$

În concluzie, pentru orice șir Cauchy $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , există $x\in \ell _{\mathbb {K} }^{p}$ astfel încât $\textstyle x=\lim _{n}x_{n}$ — adică spațiul $\left(\ell _{\mathbb {K} }^{p},\,\|\cdot \|_{p}\right)$ este complet.

Mai general, spațiul $L p$ al funcțiilor $p$ -integrabile este Banach dacă $p\geq 1$ .

Proprietăți

Teoremă — Oricare subspațiu liniar închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.

Demonstrație

Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach. Deoarece subspațiul este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul este complet.

Teoremă — Dacă $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs $\textstyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}$ este de asemenea un spațiu Banach.

Demonstrație

Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului $\textstyle X=\prod _{k=1}^{n}X_{k}$

Fie $\{x^{m}\}_{m=1}^{\infty }$ un șir Cauchy din spațiul $X$ , unde $x^{m}=\left(x_{m1},x_{m2},\cdots ,x_{mn}\right),\;(m=1,2,3,\cdots ).$

Pentru fiecare $\varepsilon >0,$ există $N_{\varepsilon }$ astfel încât $\|x^{i}-x^{k}\|<\varepsilon ,\;(j,k>N_{\varepsilon }),$ de unde rezultă că $\|x_{ji}-x_{ki}<\varepsilon \|,\;(i=1,2,\cdots ,n;\;j,k>N_{\varepsilon }).$ Atunci există $x_{i}\in X_{i},\;i=1,2,\cdots ,n,$ astfel încât $x_{i}=\lim _{k\to \infty }x_{ki}.$ Deci $\|x_{ji}-x_{i}\|\leq \varepsilon \;(i=1,2,\cdots ,n;\;j>N_{\varepsilon }).$

Se notează $x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).$ În concluzie, oricare ar fi $\varepsilon >0,$ există $N_{\varepsilon }$ astfel încât $\|x^{j}-x\|\leq \varepsilon \;(j>N_{\varepsilon }),$ adică $\textstyle \lim _{m\to \infty }x^{m}=x.$

Teoremă (echivalența spațiilor Banach) — Dacă normele $\|\cdot \|^{\prime }$ și $\|\cdot \|^{\prime \prime }$ definite în spațiul liniar $L$ sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat $(L,\,\|\cdot \|^{\prime })$ este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat $(L,\,\|\cdot \|^{\prime \prime })$ este spațiu Banach.

Demonstrație

Fie $c_{1}>0,\;c_{2}>0$ două constante alese astfel ca $\|x\|^{\prime \prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime },\;\|x\|^{\prime }\leq c_{1}\|x\|^{\prime \prime }\;(x\in L).$ Fie, în continuare, $N_{1}=(L,\,\|\cdot \|^{\prime })$ spațiu Banach și $(x_{n})_{1}^{\infty }$ un șir Cauchy în $N_{2}=(L,\,\|\cdot \|^{\prime \prime }).$ Pentru numărul $\varepsilon >0$ există $n_{0}\in \mathbb {N}$ astfel încât pentru orice $m,n\in \mathbb {N} ;\;m,n\geq n_{0}$ există relația $\textstyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime \prime }<{\frac {\varepsilon }{c_{2}}}.$ Se obține $\textstyle \|x_{n}-x_{m}\|^{\prime }<c_{2}\cdot {\frac {\varepsilon }{c_{2}}}=\varepsilon \;(n,m\geq n_{0}).$ Prin urmare șirul $(x_{n})_{1}^{\infty }$ este Cauchy în $N_{1}$ și întrucât spațiul $N_{1}$ este complet, $(x_{n})_{1}^{\infty }$ este convergent în $N_{1}.$ Fie $\textstyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ în $N_{1},$ adică $\|x_{n}-x\|^{\prime }=0.$ Însă $\textstyle \lim _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|^{\prime \prime }\leq \lim _{n\to \infty }c_{1}\|x_{n}-x\|^{\prime }=0$ și deci șirul $(x_{n})_{1}^{\infty }$ este convergent în $N_{2}.$ În consecință, spațiul $N_{2}$ este spațiu Banach.

Schimbând cu rolurile normele $\|\cdot \|^{\prime }$ și $\|\cdot \|^{\prime \prime }$ se obține că dacă $N_{2}$ este spațiu Banach atunci și $N_{1}$ este spațiu Banach.

Serii în spații Banach

O proprietate utilă a seriilor numerice este că orice serie absolut convergentă este convergentă. Deoarece această proprietate se generalizează la spații Banach, aceștia oferă un cadru natural pentru studiul seriilor generale.

Serii convergente și absolut convergente

Fie $(X,\,\|\cdot \|)$ un spațiu liniar normat, $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ un șir de elemente din $X$ și, pentru orice $n\geq 1,\,s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}.$ Dacă există $\textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,$ atunci seria $\textstyle \sum _{n}s_{n}$ se numește serie convergentă. Dacă seria numerică $\textstyle \sum _{n}\|x_{n}\|$ este convergentă, atunci seria $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ se numește absolut convergentă.

Convergența absolută implică convergența

Teoremă — Un spațiu liniar normat $(X,\,\|\cdot \|)$ este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstrație

Fie $X$ un spațiu vectorial normat și fie $\textstyle \sum _{n}x_{n}$ o serie absolut convergentă. Fie $\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}$ și $\textstyle \sigma _{n}=\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|$ șirurile sumelor parțiale. Prin inegalitatea triunghiului, $\|s_{n}-s_{m}\|\leq |\sigma _{n}-\sigma _{m}|.$

Deci dacă $\{\sigma _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este șir Cauchy, atunci și $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este șir Cauchy. Prin urmare, spațiul liniar normat $X$ fiind complet, există $\textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=s\in X,$ adică seria $\textstyle \sum x_{n}$ este convergentă.

Reciproc, fie $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ un șir Cauchy în $X$ . Atunci există un subșir $\{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$ astfel încât $\textstyle \|{x_{k}}_{n+1}-x_{k_{n}}\|<2^{-(n+1)}.$ Rezultă că seria $\textstyle \sum _{n}\|x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\|$ este convergentă.

Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria $\textstyle \sum _{n}\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)$ este convergentă. Se notează $\textstyle x=x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right).$ Deoarece:

x_{k_{1}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(x_{k_{n+1}}-x_{k_{n}}\right)=x_{k_{m}},\;\;(m\geq 2),

rezultă că subșirul $\textstyle \{x_{k_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$ al șirului $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este convergent. Prin urmare, șirul $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ este convergent.