Bază ortonormată

În algebra liniară, o bază ortonormată a unui spațiu euclidian V de dimensiune n peste $\mathbb {R}$ este o bază algebrică $B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ cu toți vectorii având norma unitară și oricare doi vectori distincți ortogonali:

$<e_{i},e_{j}>={\begin{cases}0,\;\;i\neq j\\1,\;\;i=j\end{cases}}$

Există următoarea:

Teoremă: În orice spațiu euclidian există o bază ortonormată.

Avantajele utilizării bazelor ortonormate

• Calculul componentelor unui vector $\mathbf {x} \in V$ într-o bază ortonormată se face simplu, cu ajutorul produsului scalar și nu prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
• Într-un spațiu euclidian n-dimensional dotat cu o bază ortonormată, formulele de calcul pentru produsul scalar dintre doi vectori și norma unui vector au aceeași formă cu cele din $\mathbb {R} ^{n}.$
• Matricea de trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală, adică o matrice a cărei inversă este egală cu transpusa sa.

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste $\mathbb {R}$ și $B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ o bază ortonormată a sa. Atunci dacă vectorul $x\in V$ are în baza ortonormată B scrierea

$\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +\alpha _{n}\mathbf {e} _{n},$

atunci componentele sale în această bază sunt date de formulele:

$\alpha _{j}=<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{j}>,\;\;\forall \;j=1,2,\cdots ,n.$

Prin urmare, orice vector $x\in V$ are în baza ortonormată $B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ scrierea:

$\mathbf {x} =<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{1}>\mathbf {e} _{1}+<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{2}>\mathbf {e} _{2}+\cdots +<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{n}>\mathbf {e} _{n}.$

Matricea de trecere dintre două baze ortonormate

Fie C o matrice cu n linii și n coloane cu elemente reale.

Definiție. O matrice $C\in \mathbb {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ se numește matrice ortogonală dacă:

$C\cdot C^{T}=C^{T}\cdot C=I_{n}.$

Din definiție rezultă că o matrice ortogonală C este inversabilă și $C^{-1}=C^{T}.$

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste $\mathbb {R} ,\;\;B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}$ o bază ortonormată a sa și $B'=\{f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}\}$ o altă bază a lui V, iar C matricea de trecere de la baza $B$ la baza $B'.$ Următoarele afirmații sunt echivalente:

1. Baza $B'$ este ortonormată.
2. Matricea C este o matrice ortogonală.

Vezi și

• Subspațiu ortogonal