Produs cartezian

Produsul cartezian este o operație matematică efectuată asupra a două mulțimi. Conceptul respectiv a fost denumit astfel după René Descartes, ale cărui formulări din domeniul geometriei analitice au dus la dezvoltarea acestui tip de operație.

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din perechi ordonate ale căror prim component aparține mulțimii X, iar al doilea aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate extinde ușor și pentru cazul a n mulțimi. Apare în definirea vectorilor euclidieni și a noțiunii de funcție și relație binară.

Noțiune prealabilă: perechi ordonate

Articol principal: pereche ordonată.

Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. Dacă $a\in A$ iar $b\in B,$ atunci mulțimea $\{\{a\},\ \{a,b\}\}$ se numește pereche ordonată și se notează cu $(a,b).$

Perechile ordonate au proprietatea caracteristică următoare: dacă $a,s\in A$ iar $b,t\in B,$ atunci $(a,b)=(s,t)$ dacă și numai dacă $a=s$ și $b=t.$

Definiția produsului cartezian

Fie $A$ și $B$ două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea $A$ și mulțimea $B,$ mulțimea

$A\times B:=\{(a,b):a\in A,b\in B\}.$

Fie $A=\varnothing$ mulțimea vidă, adică mulțimea care nu conține niciun element. Atunci nu există vreun $a\in A,$ deci $\varnothing \times B=\varnothing$. Analog, $A\times \varnothing =\varnothing$ și în particular $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$.

Produsul cartezian $A\times A$ se notează și $A^{2}.$

Proprietăți algebrice

Ca operație binară, produsul cartezian are următoarele proprietăți algebrice:

• Este necomutativ, adică $A\times B\neq B\times A$ (cu excepția cazurilor $A=\varnothing$ sau $B=\varnothing$ sau $A=B$).
• Conservă proprietatea de incluziune: dacă $A\subseteq C$ și$B\subseteq D$, atunci $A\times B\subseteq C\times D.$
• Este distributiv față de reuniune ($\cup$), intersecție ($\cap$) și diferență ($\setminus$):
  • $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$;
  • $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$;
  • $A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$;
  • $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$;
  • $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$;
  • $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$.

Cardinal

Pentru orice mulțimi finite $A$ și $B,$ cardinali mulțimilor $A$, $B$ și $A\times B$ — adică numerele lor respective de elemente — verifică:

$\mathrm {Card} (A\times B)=\mathrm {Card} (A)\times \mathrm {Card} (B)$

De fapt, această egalitate este adevărată pentru orice mulțimi (finite sau infinite), cu condiția ca înmulțirea să fi fost definită pentru numerele cardinale.

Generalizare la n mulțimi

În cazul a trei mulțimi produsul cartezian constă în triplete ordonate. Pentru n mulțimi se formează n-upluri ordonate.

Bibliografie

• Traian Ceaușu, Mulțimi numerice, Editura Mirton, Timișoara, 2009;
• Ștefan Balint, Ioan Cașu, Lecții de teoria mulțimilor, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2004

Lectură suplimentară

• C. Dinescu, B. Săvulescu, Inițiere în matematica aplicată, Editura Albatros, București, 1984