Ordin (teoria inelelor)

În matematică un ordin în sensul teoriei inelelor^⁠(d) este un subinel ${\mathcal {O}}$ al unui inel $A$, astfel încât

1. $A$ este o algebră finit-dimensională peste corpul $\mathbb {Q}$ numerelor raționale
2. ${\mathcal {O}}$ generează $A$ peste $\mathbb {Q}$ astfel încât $\mathbb {Q} {\mathcal {O}}=A,$ și
3. ${\mathcal {O}}$ este o $\mathbb {Z}$-latice^⁠(d) în $A$.

Ultimele două condiții pot fi enunțate în termeni mai puțin formali: în plus, ${\mathcal {O}}$ este un grup abelian liber^⁠(d) generat de baza $A$ peste $\mathbb {Q}$.

În general, pentru un domeniu de integritate $R$ conținut în corpul $K$, se definește ${\mathcal {O}}$ ca fiind un ordin $R$ într-o $K$-algebră $A$ dacă este un subinel al lui $A$ care este o $R$-latice completă.

Dacă $A$ nu este un inel comutativ, ideea de ordin este încă importantă, dar fenomenele sunt diferite. De exemplu, cuaternionii Hurwitz^⁠(d) formează un ordin maximal între cuaternionii cu coordonate raționale; ei nu sunt cuaternioni cu coordonate întregi în sensul cel mai evident. Ordinele maximale există în general, dar nu trebuie să fie unice: în general nu există un cel mai mare ordin, ci un număr de ordine maximale.

Exemple

Exemple de ordine:

• Dacă $A$ este inelul de matrici^⁠(d) $M_{n}(K)$ peste $K$, atunci inelul de matrici $M_{n}(R)$ peste $R$ este un ordin $R$ în $A$
• Dacă $R$ este un domeniu de integritate și $L$ o extindere separabilă^⁠(d) finită a lui $K$, atunci închiderea întreagă^⁠(d) $S$ din $R$ în $L$ este un ordin $R$ în $L$.
• Dacă $a$ din $A$ este un element întreg^⁠(d) peste $R$, atunci inelul de polinoame^⁠(d) $R[a]$ este un ordin $R$ în algebra $K[a]$
• Dacă $A$ este inelul^⁠(d) $K[G]$ al unui grup finit $G$, atunci $R[G]$ este un ordin $R$ pe $K[G]$

O proprietate fundamentală a $R$-ordinelor este că fiecare element al unui $R$-ordin este un element întreg^⁠(d) peste $R.$

Dacă închiderea întreagă $S$ a $R$ în $A$ este un $R$-ordin, atunci acest rezultat arată că $S$ trebuie să fie un $R$-ordin maximal în $A$. Totuși, această ipoteză nu este întotdeauna satisfăcută: într-adevăr, $S$ nu trebuie să fie nici măcar un inel, și chiar dacă $S$ este un inel (de exemplu, când $A$ este comutativă), atunci $S$ nu trebuie să fie o $R$-latice.

Teoria algebrică a numerelor

Exemplul principal este cazul în care $A$ este un corp de numere^⁠(d) $K,$ iar ${\mathcal {O}}$ este inelul său de numere întregi. În teoria algebrică a numerelor^⁠(d) există exemple pentru orice $K$, altul decât corpul rațional al subinelelor proprii ale inelului de numere întregi care sunt, de asemenea, ordine. De exemplu, în extinderea corpului $A=\mathbb {Q} (i)$ a numerelor raționale gaussiene^⁠(d) peste $\mathbb {Q}$, închiderea întreagă a lui $\mathbb {Z}$ este inelul numerelor întregi gaussiene^⁠(d) $\mathbb {Z} [i]$ și deci aceasta este unicul $\mathbb {Z}$-ordin maximal: toate celelalte ordine din $A$ sunt conținute în el, de exemplu subinelul numerelor complexe de forma $a+2bi$, cu $a$ și $b$ numere întregi.

Bibliografie

• en Pohst, Michael; Zassenhaus, Hans (1989). Algorithmic Algebraic Number Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 30. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33060-2. Zbl 0685.12001. 
• en Reiner, Irving (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series. 28. Oxford University Press. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.