Normală

În geometrie o normală este un obiect, cum ar fi o dreaptă, o rază sau un vector, care este perpendicular pe un obiect dat. De exemplu, dreapta normală la o curbă plană într-un punct dat este dreapta (infinită) perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (un versor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (un vector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.

În spațiul tridimensional o normală la suprafață sau, simplu, normală la o suprafață în punctul $P$ este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață în $P$ . Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptă normală la un plan, componenta normală a unei forțe, vectorul normal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează la ortogonalitate (unghiuri drepte).

Noțiunea a fost generalizată la varietăți diferențiabile^⁠(d) de dimensiune arbitrară încorporate într-un spațiu euclidian. Spațiul vectorial normal sau spațiul normal al unei varietăți în punctul $P$ este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cu spațiul tangent^⁠(d) în $P$ . Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazul curbelor și suprafețelor netede.

Distanța normală a unui punct $Q$ la o curbă sau la o suprafață este distanța euclidiană dintre $Q$ și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctul $P$ de pe obiect a cărui normală conține $Q$ ).

Normala la suprafețe în spațiul tridimensional

Calculul normalei la o suprafață

Pentru un poligon convex (cum ar fi un triunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorul produs vectorial al două laturi (neparalele) ale poligonului.

La un plan dat de ecuația $ax+by+cz+d=0,$ vectorul $\mathbf {n} =(a,b,c)$ este normal.^[1]^[2]

Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:

\mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,

unde $\mathbf {r} _{0}$ este un punct din plan, iar $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambii $\mathbf {p}$ și $\mathbf {q} ,$ care poate fi calculat prin produsul vectorial $\mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .$ ^[2]^[3]

Dacă o suprafață (nu neapărat plană) $S$ în spațiul tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ este parametrizată de un sistem de coordonate curbilinii $\mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),$ cu $s$ și $t$ variabile reale, atunci o normală la $S$ este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial al derivatelor parțiale

\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.

Dacă suprafața $S$ este dată sub formă implicită^⁠(d) ca un set de puncte $(x,y,z)$ care satisfac $F(x,y,z)=0,$ atunci o normală într-un punct $(x,y,z)$ de pe suprafață este dată de gradientul

\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)

deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setului $S$ .

Pentru suprafața $S$ din $\mathbb {R} ^{3}$ care este graficul funcției $z=f(x,y),$ o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarea $\mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),$ dând

\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);

sau mai simplu din forma sa implicită $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,$ rezultând

\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).

Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-un punct singular (de exemplu, vârful unui con), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normală aproape peste tot^⁠(d).

Alegerea normalei

Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avea lungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care este frontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge între normala orientată spre interior și normala orientată spre exterior. Pentru o suprafață orientată, normala este de obicei determinată de regula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.

Hipersuprafețe în spațiul n-dimensional

La un hiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiu n-dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ dat de reprezentarea sa parametrică

\mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},

unde $\mathbf {p} _{0}$ un punct pe hiperplan, iar $\mathbf {p} _{i}$ pentru $i=1,\ldots ,n-1$ sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vector $\mathbf {n}$ din nucleul matricei $P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},$ unde $P\mathbf {n} =\mathbf {0} .$ Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniare $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,$ atunci vectorul $\mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ este o normală.

Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele ( $n$ −1)-dimensionale din $\mathbb {R} ^{n}.$ O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ care satisfac o ecuație $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$ unde $F$ este o funcție scalară. Dacă $F$ este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă în vecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient: