Sari la conținut

Formă biliniară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Fie V un spațiu vectorial peste un corp comutativ K. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:

pentru orice și orice

Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V, prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor, formează un spațiu vectorial peste K numit spațiul dual.

Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe adică aplicația definită prin: pentru orice și

Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos).


Reprezentare matricială

[modificare | modificare sursă]

Fie un spațiu vectorial n-dimensional și o bază a lui . Fie x și y doi vectori oarecare și Atunci, expresia formei biliniare g est dată de:

unde s-a notat:


Proprietăți

[modificare | modificare sursă]

O formă biliniară se numește:

  • simetrică dacă
  • antisimetrică dacă
  • definită dacă

Dacă corpul comutativ K este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală pe K — atunci se numește:

  • pozitivă dacă .

Legături externe

[modificare | modificare sursă]