Fie V un spațiu vectorial peste un corp comutativ K.
Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație
liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:
![{\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\;z)=\alpha g(x,z)+\beta g(y,z);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ab38928747a3f88da856787d56820ade7908d0)
![{\displaystyle g(x,\;\alpha y+\beta z)=\alpha g(x,y)+\beta g(x,z);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a53f2642d3d3f9344f235c7c1203b0a3a04269)
pentru orice
și orice
Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V, prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor, formează un spațiu vectorial peste K numit spațiul dual.
Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe
adică aplicația
definită prin: pentru orice
și
![{\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{2}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5951faea149574c4c35968759c4c37fc11dc07f4)
Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos).
Fie
un spațiu vectorial n-dimensional și
o bază a lui
. Fie x și y doi vectori oarecare
și
Atunci, expresia formei biliniare g est dată de:
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g{\Big (}e_{i},\;\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},e_{j})\,y_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81aabfc9f491e2af3c9e1d787abf82aec291d679)
![{\displaystyle =\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\,x_{i}\,y_{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b94450a0a15ee268c0eecc084542e7366205c3)
unde s-a notat:
O formă biliniară
se numește:
- simetrică dacă
![{\displaystyle \forall x,y\in V,\;g(x,y)=g(y,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ad503a1360144f36c13666b4a5589976dc977a)
- antisimetrică dacă
![{\displaystyle \forall x,y\in V,\;g(x,y)=-g(y,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e26abf34b2c06bf0c7dfd86284af272504abe75)
- definită dacă
![{\displaystyle g(x,x)=0\implies x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d01dcf498a837aff4c8c9ef5e893d14dba4126)
Dacă corpul comutativ K este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală
pe K — atunci
se numește:
- pozitivă dacă
.