F-spațiu

În analiza funcțională^⁠(d) un F-spațiu este un spațiu vectorial V pe mulțimea numerelor reale sau complexe împreună cu o metrică d : V × V → ℝ astfel încât

1. Înmulțirea scalară în V este continuă în raport cu d și cu metrica standard pe ℝ sau ℂ.
2. Adunarea în V este continuă în raport cu d.
3. Metrica este invariantă la translație, adică d(x + a, y + a) = d(x, y) pentru orice x, y și a din V.
4. Spațiul metric (V, d) este complet.

Operația x ↦ ||x|| := d(0,x) este numită F-normă, deși în general nu este necesară o F-normă pentru a fi completă. Prin translație-invarianță, metrica este recuperabilă din F-normă. Astfel, un F-spațiu real sau complex este echivalent un spațiu vectorial real sau complex dotat cu o F-normă completă.

Unii autori folosesc termenul spațiu Fréchet^⁠(d) în loc de F-spațiu, dar de obicei termenul „spațiu Fréchet” este rezervat F-spațiilor convexe local^⁠(d). Alți autori folosesc termenul F-spațiu ca sinonim al spațiului Fréchet prin care ei înțeleg un spațiu vectorial topologic^⁠(d) convex local complet metrizabil^⁠(d). Metrica poate fi sau nu neapărat parte a structurii unui F-spațiu; mulți autori cer doar ca un astfel de spațiu să fie metrizabil într-un mod care să satisfacă proprietățile de mai sus.

Exemple

Toate spațiile Banach și Fréchet sunt F-spații. În particular, un spațiu Banach este un F-spațiu cu o cerință suplimentară, d(αx, 0) = |α|⋅d(x, 0).

Spațiile L^p pot fi transformate în F-spații pentru orice p ≥ 0 iar pentru p ≥ 1 ele pot fi transformate în convexe local, în spații Fréchet și chiar spații Banach.

Exemplul 1

$\scriptstyle L^{\frac {1}{2}}[0,\,1]$ este un F-spațiu. Nu admite seminorme continue și nici funcționale liniare continue — are spațiul dual^⁠(d) trivial.

Exemplul 2

Fie $\scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )$ spațiul valorilor complexe ale seriilor Taylor

$f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}$

pe discul unitate $\scriptstyle \mathbb {D}$ astfel încât

$\sum _{n}|a_{n}|^{p}<\infty$

atunci (pentru 0 < p < 1) $\scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )$ sunt F-spații cu p-norma:

$\|f\|_{p}=\sum _{n}|a_{n}|^{p}\qquad (0<p<1)$

De fapt, $\scriptstyle W_{p}$ este o cvasinormă^⁠(d). Mai mult, pentru orice $\scriptstyle \zeta$ cu $\scriptstyle |\zeta |\;\leq \;1$ aplicația $\scriptstyle f\,\mapsto \,f(\zeta )$ este o transformare liniară mărginită (funcțională multiplicativă) pe $\scriptstyle W_{p}(\mathbb {D} )$.

Condiții suficiente

Teorema Klee:

Fie d orice metrică pe un spațiu vectorial X astfel încât topologia 𝜏 indusă de d pe X transformă (X, 𝜏) într-un spațiu vectorial topologic. Dacă (X, d) este in spațiu metric complet, atunci (X, 𝜏) este un spațiu vectorial topologic complet.

Proprietăți conexe

• O transformare liniară aproape continuă într-un F-spațiu F al cărui grafic este închis este continuă.
• O transformare liniară aproape deschisă într-un F-spațiu al cărui grafic este închis este neapărat o aplicație deschisă^⁠(d).
• O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu este neapărat o aplicație deschisă.
• O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu a cărei imagine în codomeniu este din a doua categorie^⁠(d) este în mod necesar o aplicație deschisă surjectivă.

Bibliografie

• en Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665. 
• en Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• en Rudin, Walter (1966), Real & Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1 
• en Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. Graduate Texts in Mathematics. 8 (ed. Second). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.