F-spațiu

De la Wikipedia, enciclopedia liberă
Sari la navigare Sari la căutare

În analiza funcțională⁠(d) un F-spațiu este un spațiu vectorial V pe mulțimea numerelor reale sau complexe împreună cu o metrică d : V × V → ℝ astfel încât

  1. Înmulțirea scalară în V este continuă în raport cu d și cu metrica standard pe ℝ sau ℂ.
  2. Adunarea în V este continuă în raport cu d.
  3. Metrica este invariantă la translație, adică d(x + a, y + a) = d(x, y) pentru orice x, y și a din V.
  4. Spațiul metric (V, d) este complet⁠(d).

Operația x ↦ ||x|| := d(0,x) este numită F-normă, deși în general nu este necesară o F-normă pentru a fi completă. Prin translație-invarianță, metrica este recuperabilă din F-normă. Astfel, un F-spațiu real sau complex este echivalent un spațiu vectorial real sau complex dotat cu o F-normă completă.

Unii autori folosesc termenul spațiu Fréchet⁠(d) în loc de F-spațiu, dar de obicei termenul „spațiu Fréchet” este rezervat F-spațiilor convexe local⁠(d). Alți autori folosesc termenul F-spațiu ca sinonim al spațiului Fréchet prin care ei înțeleg un spațiu vectorial topologic⁠(d) convex local complet metrizabil⁠(d). Metrica poate fi sau nu neapărat parte a structurii unui F-spațiu; mulți autori cer doar ca un astfel de spațiu să fie metrizabil într-un mod care să satisfacă proprietățile de mai sus.

Exemple[modificare | modificare sursă]

Toate spațiile Banach și Fréchet sunt F-spații. În particular, un spațiu Banach este un F-spațiu cu o cerință suplimentară, d(αx, 0) = |α|⋅d(x, 0).[1]

Spațiile Lp pot fi transformate în F-spații pentru orice p ≥ 0 iar pentru p ≥ 1 ele pot fi transformate în convexe local, în spații Fréchet și chiar spații Banach.

Exemplul 1[modificare | modificare sursă]

este un F-spațiu. Nu admite seminorme continue și nici funcționale liniare continue — are spațiul dual⁠(d) trivial.

Exemplul 2[modificare | modificare sursă]

Fie spațiul valorilor complexe ale seriilor Taylor

pe discul unitate astfel încât

atunci (pentru 0 < p < 1) sunt F-spații cu p-norma:

De fapt, este o cvasinormă⁠(d). Mai mult, pentru orice cu aplicația este o transformare liniară mărginită (funcțională multiplicativă) pe .

Condiții suficiente[modificare | modificare sursă]

Teorema Klee:[2][3]

Fie d orice[note 1] metrică pe un spațiu vectorial X astfel încât topologia 𝜏 indusă de d pe X transformă (X, 𝜏) într-un spațiu vectorial topologic. Dacă (X, d) este in spațiu metric complet, atunci (X, 𝜏) este un spațiu vectorial topologic complet.

Proprietăți conexe[modificare | modificare sursă]

  • O transformare liniară aproape continuă într-un F-spațiu F al cărui grafic este închis este continuă.[4]
  • O transformare liniară aproape deschisă într-un F-spațiu al cărui grafic este închis este neapărat o aplicație deschisă⁠(d).[4]
  • O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu este neapărat o aplicație deschisă.[5]
  • O transformare liniară continuă aproape deschisă dintr-un F-spațiu a cărei imagine în codomeniu este din a doua categorie⁠(d)[6] este în mod necesar o aplicație deschisă surjectivă.[4]

Note explicative[modificare | modificare sursă]

  1. ^ Nu se presupune că este invariantă la translație.

Note[modificare | modificare sursă]

  1. ^ en Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59
  2. ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 35.
  3. ^ en Klee, V. L. (). „Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)” (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 3 (3): 484–487. doi:10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4Accesibil gratuit. 
  4. ^ a b c Husain 1978, p. 14.
  5. ^ Husain 1978, p. 15.
  6. ^ Ion Colțescu, Gheorghe Dogaru, Analiză matematică, calcul diferențial, Constanța: Ed. Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, 2012, p. 53

Bibliografie[modificare | modificare sursă]